Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 30 kNd = 25 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 3 mP = 10 kN pada 1 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 3 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 10 kN pada 5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 25 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 7 kNw = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.045 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 61.12/117000 = 0.0005224 = 522.4 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0005224·2000 mm = 1.045 mm

Jawapan

δ = 1.045 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 619.7 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0006) = 0.0006 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·1.033 × 10⁹ = 619679 N = 619.7 kN

Jawapan

P_max = 619.7 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.7015 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·251327) = 0.01224 rad

φ = 0.01224·180/π = 0.7015°

Jawapan

φ = 0.7015°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 20.09 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·80)) = 20.09 mm

Jawapan

d = 20.09 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −37 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −10·1 = −10 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_A = −10 − 27 = −37 kN·m

Jawapan

M_A = −37 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 75 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5 + 4·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 25·5 − 4·5·2.5 = 75 kN·m

Jawapan

M_x = 75 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 72.35 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

web: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·292.5 + 3360·140)/9360 = 237.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 240·25³/12 + 6000·(292.5 − 237.8)² = 1.829 × 10⁷ mm⁴

web: 12·280³/12 + 3360·(140 − 237.8)² = 5.406 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.829 × 10⁷ + 5.406 × 10⁷ = 7.235 × 10⁷ mm⁴ = 72.35 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 72.35 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 201 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107.5 mm

web: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·107.5 + 1800·50)/3600 = 78.75 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·15³/12 + 1800·(107.5 − 78.75)² = 1.522 × 10⁶ mm⁴

web: 18·100³/12 + 1800·(50 − 78.75)² = 2.988 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.522 × 10⁶ + 2.988 × 10⁶ = 4.509 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 115 − 78.75 = 36.25 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·36.25/4.509 × 10⁶ = 201 MPa

Jawapan

σ_atas = 201 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 30 MPa

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((50 − 50)/2)² + 30²) = 30 MPa

Jawapan

τ_max = 30 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 109.5 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 90 MPa, R = 36.06 MPa

σ₁ = 126.1 MPa, σ₂ = 53.94 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(126.1² − 126.1·53.94 + 53.94²) = 109.5 MPa

Jawapan

σ_vM = 109.5 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 57.53 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 57.53 mm

Jawapan

δ_max = 57.53 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 32.37 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, w = 20 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·6000³/(48·1.14 × 10¹³) = 2.763 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 29.61 mm

Tambahkannya

δ_max = 2.763 + 29.61 = 32.37 mm

Jawapan

δ_max = 32.37 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 35.88 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35.88 kN

Jawapan

P_cr = 35.88 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.957 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7.5 = 373.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373.3² = 4.957 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.957 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials