Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 20 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli berongga (diameter luar 75 mm, diameter dalam 38 mm, panjang 0.8 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 2000 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 8 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 12 m35 kN @ 2 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 210 mm dan diameter dalam d = 202 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 210 mmd = 202 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 96 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 240 mmpotongan: 40 × 30 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1200 mm dan ketebalan dinding 8 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 11 kNw = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 4138 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78.54 = 827.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827.6/200000 = 0.004138 = 4138 µε

Jawapan

ε = 4138 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 5.064 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 20000·293215/921534 = 6364 N

Tegasan

σ₂ = 6364/1257 = 5.064 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 5.064 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.3949 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2.902 × 10⁶ mm⁴

Sudut piuhan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(80000·2.902 × 10⁶) = 0.006893 rad

φ = 0.006893·180/π = 0.3949°

Jawapan

φ = 0.3949°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 87.31 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·20/218755 = 87.31 MPa

Jawapan

τ_max = 87.31 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 36.67 kN, R₂ = 53.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 73.33, M_C = 136.7, M_D = 180, M_E = 203.3 kN·m, M_F = 106.7, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 203.3 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 28.25 kN, R₂ = 130.8 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 40.5, M_C = −21, M_D = −114.5, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −240 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 72.85 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 2589 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.374 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(1.374 × 10⁷/2589) = 72.85 mm

Jawapan

r = 72.85 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·120 − 1200·96)/(36000 − 1200) = 120.8 mm

Plat penuh pada ȳ

150·240³/12 + 36000·−0.8276² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·30³/12 + 1200·−24.83² = 0.8297 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −45.98 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −10 − 20·0.5 − 30·0.866 = −45.98 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 25.98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −45.98 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 36.93 MPa

Tegasan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2·600/8 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (150 − 75)·sin 40°·cos 40° = 36.93 MPa

Jawapan

|τ_n| = 36.93 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.003947 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.003947 rad

Jawapan

θ_A = 0.003947 rad

Itu ialah 0.2262°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 27.02 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, w = 15 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·6000³/(48·1.12 × 10¹³) = 4.42 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 22.6 mm

Tambahkannya

δ_max = 4.42 + 22.6 = 27.02 mm

Jawapan

δ_max = 27.02 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 21.7 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21.7 kN

Jawapan

P_cr = 21.7 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 15.67 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa

Jawapan

σ_cr = 15.67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials