Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 55 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 20 kW pada 1450 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 5 m50 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m40 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 156 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 60 MPa dan σᵧ = 30 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 70 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 2000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 20 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 110 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.751 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314.2 = 175.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 175.1/100000 = 0.001751 = 1751 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001751·1000 mm = 1.751 mm

Jawapan

δ = 1.751 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.785 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 40.74 MPa

σ₂ = 63.66 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40.74·2000/117000 = 0.6965 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63.66·2000/117000 = 1.088 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.785 mm

Jawapan

δ = 1.785 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.28 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(80000·15708) = 0.03979 rad

φ = 0.03979·180/π = 2.28°

Jawapan

φ = 2.28°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 4.087 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 131714·30/966855 = 4.087 MPa

Jawapan

τ_max = 4.087 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 34.17 kN, R₂ = 70.83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 34.17, M_C = 68.33, M_D = 102.5 kN·m, M_E = 86.67, M_F = 70.83, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 102.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 18.5 kN, R₂ = 63.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −5.5, M_D = −9, M_E = −20.5, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −40 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 2827·156)/(24000 − 2827) = 115.2 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·4.808² = 115.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·40.81² = 5.345 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 47.62 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

web: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·135 + 1200·60)/9000 = 125 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·30³/12 + 7800·(135 − 125)² = 1.365 × 10⁶ mm⁴

web: 10·120³/12 + 1200·(60 − 125)² = 6.51 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.365 × 10⁶ + 6.51 × 10⁶ = 7.875 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 150 − 125 = 25 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·25/7.875 × 10⁶ = 47.62 MPa

Jawapan

σ_atas = 47.62 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 20 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (60 + 30)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 70 − 45 = 25 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 15²) = 20 MPa

Jawapan

τ_xy = 20 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 229.7 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119.4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159.2 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 59.68 MPa

R = √(59.68² + 159.2²) = 170 MPa

σ₁ = C + R = 229.7 MPa

σ₂ = C − R = −110.3 MPa

Jawapan

σ₁ = 229.7 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 10.04 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 10.04 mm

Jawapan

δ_max = 10.04 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 17.43 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 17.43 mm

Jawapan

δ_max = 17.43 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.632 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/5000² = 2632 N = 2.632 kN

Jawapan

P_cr = 2.632 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 42.96 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 42.96 mm

Jawapan

d = 42.96 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 93.11, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials