Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 50 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 2.5 m panjang membawa tork 750 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 0.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 750 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 2 mP = 35 kN pada 1 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 2 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP = 30 kN pada 2 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 156 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 80 × 20 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 50° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa daya tegangan paksi 20 kN bersama-sama dengan tork 250 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmF = 20 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 25 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 5290 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113.1 = 618.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 618.9/117000 = 0.00529 = 5290 µε

Jawapan

ε = 5290 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 159.2 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 51.97 MPa

σ₂ = 159.2 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 159.2 MPa

Jawapan

σ_max = 159.2 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 86.55 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(39000·0.008727) = 5.509 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 86.55 mm

Jawapan

d = 86.55 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 22.99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm

Jawapan

d = 22.99 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −22 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −35·0.5 = −17.5 kN·m

w: −4·1.5²/2 = −4.5 kN·m

M_x = −17.5 − 4.5 = −22 kN·m

Jawapan

M_x = −22 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 48 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 4·5·2.5

R_B = 110/5 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 22 = 28 kN

Di manakah V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 20 kN

V(2⁺) = 20 − 30 = −10 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 28·2 − 4·2²/2 = 48 kN·m

Jawapan

M_max = 48 kN·m

Ia berlaku pada x = 2 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 2827·156)/(24000 − 2827) = 115.2 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·4.808² = 115.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·40.81² = 5.345 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 110.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 263.9 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (36000·150 − 1600·210)/(36000 − 1600) = 147.2 mm

Plat penuh pada ȳ

120·300³/12 + 36000·2.791² = 270.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·20³/12 + 1600·62.79² = 6.362 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 263.9 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 263.9 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −3.639 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 65 − (−55)·(−0.1736) − 60·0.9848 = −3.639 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 133.6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −3.639 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 16.48 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 20000/(π·50²/4) = 20000/1963 = 10.19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10.19 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 5.093 MPa

R = √(5.093² + 10.19²) = 11.39 MPa

σ₁ = C + R = 16.48 MPa

σ₂ = C − R = −6.295 MPa

Jawapan

σ₁ = 16.48 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.02795 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·1.61 × 10¹²) = 0.02795 rad

Jawapan

θ_A = 0.02795 rad

Itu ialah 1.601°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22.22) = 1.714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 73.69 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73.69 kN

Jawapan

P_cr = 73.69 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 94.46 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 94.46 mm

Jawapan

d = 94.46 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 254.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials