Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 100 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP₁ = 80 kN pada 2 mP₂ = 50 kN pada 4 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 45 kN pada 1.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 50 MPa dalam tegangan dan 120 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 3.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 16 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 125 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 125 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 100 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 72.97 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2.653 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/5.482 × 10⁻⁶ = 72966 N = 72.97 kN

Jawapan

P = 72.97 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 313.4 kN

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·4.477 × 10⁸ = 313374 N = 313.4 kN

Jawapan

P_max = 313.4 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 22.35 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0.7599)) = 22.35 mm

d_i = 0.7·22.35 = 15.65 mm

Jawapan

d_o = 22.35 mm

Aci pepejal memerlukan d = 20.4 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 51.31 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·60)) = 51.31 mm

Jawapan

d = 51.31 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 180 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·2 + 50·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 45 = 85 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·2 = 85·2 = 170 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·4 = 45·4 = 180 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 180 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 180 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 24.56 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 12·4·2

R_B = 163.5/4 = 40.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 40.88 = 52.13 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 52.13·0.5 − 12·0.5·0.25 = 24.56 kN·m

Jawapan

M_x = 24.56 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 5.516 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107.5 mm

web: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107.5 + 2000·50)/4700 = 83.03 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·15³/12 + 2700·(107.5 − 83.03)² = 1.667 × 10⁶ mm⁴

web: 20·100³/12 + 2000·(50 − 83.03)² = 3.849 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.667 × 10⁶ + 3.849 × 10⁶ = 5.516 × 10⁶ mm⁴ = 5.516 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 5.516 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 3.098 kN·m

Sentroid

ȳ = (1600·165 + 1280·80)/2880 = 127.2 mm

tepi atas: c = 170 − 127.2 = 42.78 mm

Momen luas kedua

I = 160·10³/12 + 1600·37.78² + 8·160³/12 + 1280·47.22² = 7.882 × 10⁶ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Sagging: bahagian atas dalam mampatan, bahagian bawah dalam tegangan.

tepi atas: M = 120·7.882 × 10⁶/42.78 = 22.11 kN·m

tepi bawah: M = 50·7.882 × 10⁶/127.2 = 3.098 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 3.098 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 3.098 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 18.03 MPa

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((130 − 100)/2)² + 10²) = 18.03 MPa

Jawapan

τ_max = 18.03 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 11.23

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 5 MPa, R = 18.03 MPa

σ₁ = 23.03 MPa, σ₂ = −13.03 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(23.03² − 23.03·(−13.03) + (−13.03)²) = 31.62 MPa

n = 355/31.62 = 11.23

Jawapan

n = 11.23

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 5 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3500²·1500²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 5 mm

Jawapan

δ_P = 5 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 149.1 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·8.333) = 3.452 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·3.452 × 10⁷/125)^1/3 = 149.1 mm

Jawapan

h_req = 149.1 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 87.19 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 87.19 mm

Jawapan

d = 87.19 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 128.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials