Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.5 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 30 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 3.99° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 3.99°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1450 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 4 m20 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 5 mw = 8 kN/m dari 2 hingga 4 m

x₀ = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 72 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 40 mmpusat lubang: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 54 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2.894 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.5/9.26 × 10⁻⁶ = 53996 N = 54 kN

Jawapan

P = 54 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.9352 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 79.58 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19.89·1500/117000 = 0.2551 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79.58·1000/117000 = 0.6801 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.9352 mm

Jawapan

δ = 0.9352 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3.99·π/180 = 0.06964 rad

Modulus ricih

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0.06964) = 26003 MPa

G = 26 GPa

Jawapan

G = 26 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 60.21 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·20/218755 = 60.21 MPa

Jawapan

τ_max = 60.21 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 30 kN, R₂ = 50 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 90, M_E = 100 kN·m, M_F = 50, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 100 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x₀ = 2.8 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·3

R_B = 48/5 = 9.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 9.6 = 6.4 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 6.4/8 = 2.8 m

Jawapan

x₀ = 2.8 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 99.31 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·100 − 706.9·130)/(30000 − 706.9) = 99.28 mm

Plat penuh pada ȳ

150·200³/12 + 30000·0.7239² = 100 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·30.72² = 0.707 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 99.31 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 99.31 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (48000·120 − 1200·72)/(48000 − 1200) = 121.2 mm

Plat penuh pada ȳ

200·240³/12 + 48000·−1.231² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·40³/12 + 1200·−49.23² = 3.068 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −29.52 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θ_s = −50/58.31 = −0.8575

2θ_s = atan2(−50, 30) = −59.04°

Sudut pada unsur

θ_s = −29.52°

semakan: θ_s − θ_p = −29.52 − 15.48 = −45°

Jawapan

θ_s = −29.52°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −60.93 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −45 + 35·−0.1736 + −10·0.9848 = −60.93 MPa

Jawapan

σ_θ = −60.93 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 12.06 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 12.06 mm

Jawapan

δ_max = 12.06 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 62.61 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·8000³/(48·4.6 × 10¹²) = 39.42 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 23.19 mm

Tambahkannya

δ_max = 39.42 + 23.19 = 62.61 mm

Jawapan

δ_max = 62.61 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 151.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN

Jawapan

P_cr = 151.4 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 51.09 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.09 mm

Jawapan

d = 51.09 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 156.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials