Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 20 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 1.2 m panjang membawa tork 2000 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 0.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 2000 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 30 kN·m pada x = 5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mM₀ = 30 kN·m ikut arah jam, pada 5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP = 45 kN pada 1 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 168 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 25 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 25 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 18.17 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1.455 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.2/1.1 × 10⁻⁵ = 18175 N = 18.17 kN

Jawapan

P = 18.17 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 176.8 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 20.79 MPa

σ₂ = 176.8 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 176.8 MPa

Jawapan

σ_max = 176.8 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 92.06 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·1200/(39000·0.008727) = 7.052 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 92.06 mm

Jawapan

d = 92.06 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 30.01 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm

Jawapan

d = 30.01 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 15 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/10 = 3 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −3 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −3·5 + 30 = 15 kN·m

Jawapan

M_x = 15 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 51.77 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 3·8·4

R_B = 141/8 = 17.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 17.63 = 51.38 kN

Di manakah V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (51.38 − 45)/3 = 2.125 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 51.77 kN·m

Jawapan

M_max = 51.77 kN·m

Ia berlaku pada x = 2.125 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 133.1 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 1963·168)/(28800 − 1963) = 116.5 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·3.512² = 138.6 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·51.51² = 5.517 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 133.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 133.1 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 85.1 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

web: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·265 + 2600·130)/4000 = 177.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·10³/12 + 1400·(265 − 177.3)² = 1.079 × 10⁷ mm⁴

web: 10·260³/12 + 2600·(130 − 177.3)² = 2.045 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.079 × 10⁷ + 2.045 × 10⁷ = 3.124 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 177.3 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·177.3/3.124 × 10⁷ = 85.1 MPa

Jawapan

σ_bawah = 85.1 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 94.87 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((160 − −20)/2)² + 30²) = 94.87 MPa

Jawapan

τ_max = 94.87 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 50 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·−1 + 40·0 = 50 MPa

Jawapan

τ_θ = 50 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 48.44 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 48.44 mm

Jawapan

δ_max = 48.44 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 16.42 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·5000³/(48·1.14 × 10¹³) = 5.711 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 10.71 mm

Tambahkannya

δ_max = 5.711 + 10.71 = 16.42 mm

Jawapan

δ_max = 16.42 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 177.7 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1000² = 177653 N = 177.7 kN

Jawapan

P_cr = 177.7 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 44.81 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.81 mm

Jawapan

d = 44.81 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 223.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials