Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 75 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 3 m panjang membawa tork 400 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 400 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 20 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 750 N·m dikenakan pada C, 2 m dari A dan 1.5 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 20 mmT₀ = 750 N·ma = 2 mb = 1.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 2 mP = 20 kN pada 2 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 2 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 20 kN pada 1.5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 80 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 180 mmh = 80 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 150 × 14 mm, web setinggi 150 mm dan setebal 12 mm, dan bebibir bawah 180 × 10 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 150 × 14 mmweb: 12 × 150 mmbebibir bawah: 180 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 600 mm dan ketebalan dinding 10 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 25° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ_max di tengah rentang.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2449 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 286.5/117000 = 0.002449 = 2449 µε

Jawapan

ε = 2449 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 663.1 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 77.95 MPa

σ₂ = 663.1 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 663.1 MPa

Jawapan

σ_max = 663.1 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 65.1 mm

Momen kutub yang diperlukan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(39000·0.01745) = 1.763 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 65.1 mm

Jawapan

d = 65.1 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 272.8 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1.5/3.5 = 321.4 N·m

T_B = 750·2/3.5 = 428.6 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·428571/(π·20³) = 272.8 MPa

Jawapan

τ_max = 272.8 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −46 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −20·2 = −40 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_A = −40 − 6 = −46 kN·m

Jawapan

M_A = −46 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 33.75 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1.5 + 8·4·2

R_B = 94/4 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 23.5 = 28.5 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 28.5·1.5 − 8·1.5·0.75 = 33.75 kN·m

Jawapan

M_x = 33.75 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 25.32 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 180·18 = 3240 mm², y₁ = 9 mm

dua kaki: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

Sentroid

ȳ = (3240·9 + 2232·49)/5472 = 25.32 mm

Jawapan

ȳ = 25.32 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 28.93 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 2100 mm², y = 167 mm

web: A = 1800 mm², y = 85 mm

bebibir bawah: A = 1800 mm², y = 5 mm

Sentroid

ȳ = (2100·167 + 1800·85 + 1800·5)/5700 = 89.95 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 150·14³/12 + 2100·77.05² = 1.25 × 10⁷ mm⁴

web: 12·150³/12 + 1800·4.947² = 3.419 × 10⁶ mm⁴

bebibir bawah: 180·10³/12 + 1800·84.95² = 1.3 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.25 × 10⁷ + 3.419 × 10⁶ + 1.3 × 10⁷

I_x = 2.893 × 10⁷ mm⁴ = 28.93 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 28.93 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 67.5 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −10/14.14 = −0.7071, sin 2θ_s = −(−10)/14.14 = 0.7071

2θ_s = atan2(10, −10) = 135°

Sudut pada unsur

θ_s = 67.5°

semakan: θ_s − θ_p = 67.5 − (−67.5) = 135°

Jawapan

θ_s = 67.5°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 11.49 MPa

Tegasan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/10 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (60 − 30)·sin 25°·cos 25° = 11.49 MPa

Jawapan

|τ_n| = 11.49 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.268 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 2.268 mm

Jawapan

δ_max = 2.268 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.569 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 1.285 mm

Tambah kedua-dua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 2.569 mm

Jawapan

δ_max = 2.569 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 12.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN

Jawapan

P_cr = 12.56 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 25.18 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12.5 = 280

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

Jawapan

σ_cr = 25.18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials