Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 80 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 2.5 m panjang membawa tork 1000 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 1000 N·mL = 2.5 mG = 80 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 2000 N·m bertindak pada B, 3 m dari A, dan tork 1000 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 3 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari daya ricih V_x sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mP₁ = 60 kN pada 1 mP₂ = 50 kN pada 10 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m40 kN @ 12 m25 kN @ 4 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 105 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 80 × 20 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 4 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.546 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/100000 = 0.002546 = 2546 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.002546·1000 mm = 2.546 mm

Jawapan

δ = 2.546 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 12.93 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·1.08 × 10⁶/1.276 × 10⁶ = 25385 N

Tegasan

σ₂ = 25385/1963 = 12.93 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 12.93 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 59.05 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(80000·0.02618) = 1.194 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 59.05 mm

Jawapan

d = 59.05 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 23.58 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 2000 = −1000 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23.58 MPa

Jawapan

τ_max = 23.58 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −20 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 50·10

R_B = 560/8 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 70 = 40 kN

Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri

V_x = R_A − P₁ = 40 − 60 = −20 kN

Jawapan

V_x = −20 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 58.33 kN, R₂ = 76.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −53.33, M_D = −96.67, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −160 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 334.1 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (45000·150 − 2827·120)/(45000 − 2827) = 152 mm

Plat penuh pada ȳ

150·300³/12 + 45000·−2.011² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−32.01² = 3.534 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 334.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 334.1 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 266.6 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (36000·150 − 1600·105)/(36000 − 1600) = 152.1 mm

Plat penuh pada ȳ

120·300³/12 + 36000·−2.093² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·20³/12 + 1600·−47.09² = 3.602 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 266.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 266.6 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 30.41 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((0 − −10)/2)² + −30²) = 30.41 MPa

Jawapan

τ_max = 30.41 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 39.8 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·−0.6428 + 10·0.766 = 39.8 MPa

Jawapan

τ_θ = 39.8 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 39.47 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·3000³/(3·3.99 × 10¹²) = 9.023 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 30.45 mm

Tambahkannya

δ = 9.023 + 30.45 = 39.47 mm

Jawapan

δ = 39.47 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.757 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1.32 × 10¹²) = 0.9864 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 0.7706 mm

Tambahkannya

δ_max = 0.9864 + 0.7706 = 1.757 mm

Jawapan

δ_max = 1.757 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 38.59 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN

Jawapan

P_cr = 38.59 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 100.7 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

Jawapan

σ_cr = 100.7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials