Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 200 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 15 kW pada 3000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 60 kN pada 2 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 260 mm dan diameter dalam d = 244 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 260 mmd = 244 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 30 MPa dalam tegangan dan 90 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 500 N·m bersama-sama dengan tork 750 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 500 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2228 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 70·1000/314.2 = 222.8 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 222.8/100000 = 0.002228 = 2228 µε

Jawapan

ε = 2228 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 427 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7.32 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.0005833) = 0.0005833 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0005833·7.32 × 10⁸ = 426995 N = 427 kN

Jawapan

P_max = 427 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 29.18 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0.6836)) = 29.18 mm

d_i = 0.75·29.18 = 21.88 mm

Jawapan

d_o = 29.18 mm

Aci pepejal memerlukan d = 25.7 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 4.053 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 47746·20/235619 = 4.053 MPa

Jawapan

τ_max = 4.053 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 68.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong pada x = 5.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 40·5.5 − 10·5.5·2.75 = 68.75 kN·m

Jawapan

M_x = 68.75 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 52.5 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2 + 4·4·2

R_B = 152/4 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 38 = 38 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 38·2.5 − 60·(2.5 − 2) − 4·2.5·1.25 = 52.5 kN·m

Jawapan

M_x = 52.5 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 89.14 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 6333 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.033 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(5.033 × 10⁷/6333) = 89.14 mm

Jawapan

r = 89.14 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 11.06 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (3300·187.5 + 2160·90)/5460 = 148.9 mm

tepi atas: c = 195 − 148.9 = 46.07 mm

Momen luas kedua

I = 220·15³/12 + 3300·38.57² + 12·180³/12 + 2160·58.93² = 1.83 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 30·1.83 × 10⁷/46.07 = 11.92 kN·m

tepi bawah: M = 90·1.83 × 10⁷/148.9 = 11.06 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 11.06 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 11.06 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 42.62 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −50 − −60) = 85.24°

Sudut pada unsur

θ_p = 42.62°

Jawapan

θ_p = 42.62°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 264.3 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 94.31 MPa

R = √(94.31² + 141.5²) = 170 MPa

σ₁ = C + R = 264.3 MPa

σ₂ = C − R = −75.71 MPa

Jawapan

σ₁ = 264.3 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 6.211 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 6.211 mm

Jawapan

δ = 6.211 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.441 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·5000 = 10000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/10000² = 4441 N = 4.441 kN

Jawapan

P_cr = 4.441 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 19.28 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6.25 = 320

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

Jawapan

σ_cr = 19.28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials