Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 35 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 15 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 400 N·m dikenakan pada C, 1.5 m dari A dan 1 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT₀ = 400 N·ma = 1.5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur M_B pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 7.5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 7.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m

M_B = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 52.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 150 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 15 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 24 kNb = 1.5 mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.741 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201.1 = 174.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 174.1/100000 = 0.001741 = 1741 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001741·1000 mm = 1.741 mm

Jawapan

δ = 1.741 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.3234 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 11.94 MPa

σ₂ = 47.75 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11.94·1000/100000 = 0.1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47.75·500/117000 = 0.204 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.3234 mm

Jawapan

δ = 0.3234 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.789 °

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·613592) = 0.08358 rad

φ = 0.08358·180/π = 4.789°

Jawapan

φ = 4.789°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 9.778 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/2.5 = 160 N·m

T_B = 400·1.5/2.5 = 240 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·240000/(π·50³) = 9.778 MPa

Jawapan

τ_max = 9.778 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 10.5 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 24·3.5 − 12·3.5·1.75 = 10.5 kN·m

Jawapan

M_x = 10.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_B = −5.625 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·7.5 = 37.5 kN, bertindak pada x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7.5·3.75

R_B = 140.6/6 = 23.44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37.5 − 23.44 = 14.06 kN

Keratan pada B dan simpan juluran

Beban pada juluran, w·a, bertindak pada a/2 dari B dan menyebabkan rasuk melentur secara hogging di atas penyokong.

M_B = −w·a²/2 = −5·1.5²/2 = −5.625 kN·m

Jawapan

M_B = −5.625 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 77.58 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

web: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 4160·130)/10760 = 218.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·30³/12 + 6600·(275 − 218.9)² = 2.124 × 10⁷ mm⁴

web: 16·260³/12 + 4160·(130 − 218.9)² = 5.634 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.124 × 10⁷ + 5.634 × 10⁷ = 7.758 × 10⁷ mm⁴ = 77.58 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 77.58 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 55.34 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·75 − 1500·52.5)/(30000 − 1500) = 76.18 mm

Plat penuh pada ȳ

200·150³/12 + 30000·−1.184² = 56.29 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·30³/12 + 1500·−23.68² = 0.9539 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 55.34 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 55.34 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 10.9 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 110 − −40) = 21.8°

Sudut pada unsur

θ_p = 10.9°

Jawapan

θ_p = 10.9°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 26.45 MPa

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2·250/15 = 33.33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16.67 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 16.67·sin²40° + 33.33·cos²40° = 26.45 MPa

Jawapan

σ_n = 26.45 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 11.48 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 11.48 mm

Jawapan

δ_max = 11.48 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 29.84 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 24000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·4.6 × 10¹²) = 29.84 mm

Jawapan

δ_mid = 29.84 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.16 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2000² = 13159 N = 13.16 kN

Jawapan

P_cr = 13.16 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 9.715 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

Jawapan

σ_cr = 9.715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials