Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 100 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 100 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 12 mm dipiuh oleh tork 20 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 4.33° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 4.33°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 0 m45 kN @ 12 m30 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 25 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa daya mampatan paksi 30 kN bersama-sama dengan tork 2000 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmF = −30 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 125 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.037 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 203.7/200000 = 0.001019 = 1019 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001019·2000 mm = 2.037 mm

Jawapan

δ = 2.037 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 497.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 103.9 MPa

σ₂ = 497.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 497.4 MPa

Jawapan

σ_max = 497.4 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 26 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4.33·π/180 = 0.07557 rad

Modulus ricih

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0.07557) = 26000 MPa

G = 26 GPa

Jawapan

G = 26 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 41.78 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·50)) = 41.78 mm

Jawapan

d = 41.78 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −4 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 16 − 4·5 = −4 kN

Jawapan

V_x = −4 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 92.67 kN, R₂ = 104.3 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −38.67, M_D = −85.33, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −180 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 32.74 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

web: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·232.5 + 2200·110)/7700 = 197.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·25³/12 + 5500·(232.5 − 197.5)² = 7.024 × 10⁶ mm⁴

web: 10·220³/12 + 2200·(110 − 197.5)² = 2.572 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.024 × 10⁶ + 2.572 × 10⁷ = 3.274 × 10⁷ mm⁴ = 32.74 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 32.74 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 257.6 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

web: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·130 + 2400·60)/5600 = 100 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 160·20³/12 + 3200·(130 − 100)² = 2.987 × 10⁶ mm⁴

web: 20·120³/12 + 2400·(60 − 100)² = 6.72 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.987 × 10⁶ + 6.72 × 10⁶ = 9.707 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 100 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·100/9.707 × 10⁶ = 257.6 MPa

Jawapan

σ_bawah = 257.6 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 41.51 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 65 MPa, R = √(15² + 10²) = 18.03 MPa

σ₁ = 83.03 MPa, σ₂ = 46.97 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36.06, 83.03, 46.97)/2 = 41.51 MPa

Jawapan

τ_abs = 41.51 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 74.21 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −30000/(π·50²/4) = −30000/1963 = −15.28 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −7.639 MPa

R = √((−7.639)² + 81.49²) = 81.84 MPa

σ₁ = C + R = 74.21 MPa

σ₂ = C − R = −89.48 MPa

Jawapan

σ₁ = 74.21 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 3.509 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 3.509 mm

Jawapan

δ_max = 3.509 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·11000·22.22) = 1.309 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 10.53 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2500² = 10528 N = 10.53 kN

Jawapan

P_cr = 10.53 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 70.13 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 70.13 mm

Jawapan

d = 70.13 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 142.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials