Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 60 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 4.21° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 4.21°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 1800 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 45 kN pada 2.5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 6 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1.2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 60° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 1.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 4 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 13 kNw = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 30 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 11.37 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113.1 = 530.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 530.5/70000 = 0.007579 = 7579 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.007579·1500 mm = 11.37 mm

Jawapan

δ = 11.37 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.767 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 106.1 MPa

σ₂ = 663.1 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106.1·500/200000 = 0.2653 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663.1·1500/117000 = 8.502 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.767 mm

Jawapan

δ = 8.767 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 25.99 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 4.21·π/180 = 0.07348 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0.07348) = 25992 MPa

G = 25.99 GPa

Jawapan

G = 25.99 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 8.231 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·30/966855 = 8.231 MPa

Jawapan

τ_max = 8.231 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 9.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·0.5 − 4·0.5·0.25 = 9.5 kN·m

Jawapan

M_x = 9.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 68.75 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2.5 + 4·5·2.5

R_B = 162.5/5 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32.5 = 32.5 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 32.5·2.5 − 4·2.5·1.25 = 68.75 kN·m

Jawapan

M_x = 68.75 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 446.7 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151.5 mm

Plat penuh pada ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.484² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−31.48² = 3.439 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 446.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 446.7 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (24000·100 − 1500·120)/(24000 − 1500) = 98.67 mm

Plat penuh pada ȳ

120·200³/12 + 24000·1.333² = 80.04 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·30³/12 + 1500·21.33² = 0.7952 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 79.25 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 36.4 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−60 − 10)/2)² + −10²) = 36.4 MPa

Jawapan

τ_max = 36.4 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 31.25 MPa

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1.2·250/6 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 25·sin²60° + 50·cos²60° = 31.25 MPa

Jawapan

σ_n = 31.25 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 18.53 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1500²·2500²/(3·2.53 × 10¹¹·4000) = 18.53 mm

Jawapan

δ_P = 18.53 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 7.332 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·2500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 4.58 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 2.752 mm

Tambahkannya

δ_max = 4.58 + 2.752 = 7.332 mm

Jawapan

δ_max = 7.332 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 6.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6.89 kN

Jawapan

P_cr = 6.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 72.66 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.66 mm

Jawapan

d = 72.66 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 330.3, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials