Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 65 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 12 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 90 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 16 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 240 mmh = 90 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 5 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.421 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 206.9/117000 = 0.001768 = 1768 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001768·2500 mm = 4.421 mm

Jawapan

δ = 4.421 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 271.7 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·4006 = 5.435 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0005) = 0.0005 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0005·5.435 × 10⁸ = 271748 N = 271.7 kN

Jawapan

P_max = 271.7 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.5845 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·251327) = 0.0102 rad

φ = 0.0102·180/π = 0.5845°

Jawapan

φ = 0.5845°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 25.42 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/751193 = 25.42 MPa

Jawapan

τ_max = 25.42 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = 6 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 18 − 6·2 = 6 kN

Jawapan

V_x = 6 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 23 kN, R₂ = 82 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 46, M_C = 92, M_D = 28, M_E = −36, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −100 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 4.129 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 240·16 = 3840 mm², y₁ = 8 mm

dua kaki: A₂ = 2·16·74 = 2368 mm², y₂ = 16 + 74/2 = 53 mm

Sentroid

ȳ = (3840·8 + 2368·53)/6208 = 25.16 mm

Teorem paksi selari

bes: 240·16³/12 + 3840·(8 − 25.16)² = 1.213 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·16·74³/12 + 2368·(53 − 25.16)² = 2.915 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.213 × 10⁶ + 2.915 × 10⁶

I_x = 4.129 × 10⁶ mm⁴ = 4.129 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 4.129 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 36.21 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

web: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·307.5 + 4800·150)/9300 = 226.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·15³/12 + 4500·(307.5 − 226.2)² = 2.982 × 10⁷ mm⁴

web: 16·300³/12 + 4800·(150 − 226.2)² = 6.388 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.982 × 10⁷ + 6.388 × 10⁷ = 9.37 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 226.2 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·226.2/9.37 × 10⁷ = 36.21 MPa

Jawapan

σ_bawah = 36.21 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 106.9 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((130 − −80)/2)² + −20²) = 106.9 MPa

Jawapan

τ_max = 106.9 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 311.5 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94.31 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 141.5 MPa

R = √(141.5² + 94.31²) = 170 MPa

σ₁ = C + R = 311.5 MPa

σ₂ = C − R = −28.56 MPa

Jawapan

σ₁ = 311.5 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 4.202 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 4.202 mm

Jawapan

δ_max = 4.202 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 9.375 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN

Jawapan

R_B = 9.375 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 21.48 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1750² = 21485 N = 21.48 kN

Jawapan

P_cr = 21.48 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 8.567 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/6.25 = 480

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

Jawapan

σ_cr = 8.567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials