Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 40 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 10 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 8 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 50 kN pada 3 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 72 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 50° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 2 m dari A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 14 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 5 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 25 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1188 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·800/5.388 × 10⁸ = 0.1188 mm

Jawapan

δ = 0.1188 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 9.252 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 40000·395841/605280 = 26159 N

Tegasan

σ₂ = 26159/2827 = 9.252 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 9.252 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.99 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(39000·38350) = 0.4012 rad

φ = 0.4012·180/π = 22.99°

Jawapan

φ = 22.99°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.92 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·80)) = 15.94 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 36.92 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(15.94, 36.92) = 36.92 mm

Jawapan

d = 36.92 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 50 kN, R₂ = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 200 kN·m, M_D = 180, M_E = 160, M_F = 80, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 200 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 96 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 12·5·2.5

R_B = 300/5 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 60 = 50 kN

Potong pada x = 3 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 50·3 − 12·3·1.5 = 96 kN·m

Jawapan

M_x = 96 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·100 − 2827·130)/(30000 − 2827) = 96.88 mm

Plat penuh pada ȳ

150·200³/12 + 30000·3.122² = 100.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 171.4 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (36000·120 − 600·72)/(36000 − 600) = 120.8 mm

Plat penuh pada ȳ

150·240³/12 + 36000·−0.8136² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·20³/12 + 600·−48.81² = 1.45 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 171.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 171.4 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 35.16 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 65 − 55·(−0.1736) − 40·0.9848 = 35.16 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 94.84 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 35.16 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −55.25 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 10 + −60·0.766 + 30·−0.6428 = −55.25 MPa

Jawapan

σ_θ = −55.25 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 21.96 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·2000³/(3·1.7 × 10¹²) = 21.96 mm

Jawapan

δ_P = 21.96 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 15 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·5/8 = 15 kN

Jawapan

R_B = 15 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 40.8 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1050² = 40797 N = 40.8 kN

Jawapan

P_cr = 40.8 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 59.32 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 59.32 mm

Jawapan

d = 59.32 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 269.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials