Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 70 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0.8 m. Tork 500 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 500 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 0.8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 2.5 m dari A dan 0.5 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 2.5 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP₁ = 30 kN pada 3 mP₂ = 60 kN pada 7 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP = 75 kN pada 3 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 105 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 180 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 20° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 15° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 3 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.2091 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·3063 = 4.783 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·500/4.783 × 10⁸ = 0.2091 mm

Jawapan

δ = 0.2091 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 222.8 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 142.6 MPa

σ₂ = 222.8 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 222.8 MPa

Jawapan

σ_max = 222.8 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 11.97 °

Momen kutub

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(80000·79522) = 0.0786 rad

φ_BC = 500000·800/(80000·38350) = 0.1304 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.0786 + 0.1304 = 0.209 rad = 11.97°

Jawapan

φ_C = 11.97°

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 166.7 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0.5/3 = 166.7 N·m

T_B = 1000·2.5/3 = 833.3 N·m

Jawapan

T_A = 166.7 N·m

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 78.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 60·7

R_B = 510/8 = 63.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 63.75 = 26.25 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·3 = 26.25·3 = 78.75 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·1 = 63.75·1 = 63.75 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 78.75 kN·m (di bawah P₁)

Jawapan

M_max = 78.75 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 96 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·3 + 2·5·2.5

R_B = 250/5 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 50 = 35 kN

Di manakah V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 29 kN

V(3⁺) = 29 − 75 = −46 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 35·3 − 2·3²/2 = 96 kN·m

Jawapan

M_max = 96 kN·m

Ia berlaku pada x = 3 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 706.9·105)/(30000 − 706.9) = 151.1 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·−1.086² = 225 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−46.09² = 1.541 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 224.2 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 800·180)/(30000 − 800) = 149.2 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·0.8219² = 225 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·20³/12 + 800·30.82² = 0.7867 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 224.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 224.2 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −64.48 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −40 − (−10)·0.766 − (−50)·(−0.6428) = −64.48 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −15.52 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −80 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −64.48 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 37.68 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + −20·0.866 + −10·0.5 = 37.68 MPa

Jawapan

σ_θ = 37.68 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 9.688 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 9.688 mm

Jawapan

δ_max = 9.688 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 7.472 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 7.472 mm

Jawapan

δ_max = 7.472 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.249 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/4000² = 2249 N = 2.249 kN

Jawapan

P_cr = 2.249 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 12.69 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233.3² = 12.69 MPa

Jawapan

σ_cr = 12.69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials