Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 50 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 750 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.6 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 4 m5 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 40 kN pada 2.5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 97.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 168 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.04 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 159.2/117000 = 0.00136 = 1360 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.00136·1500 mm = 2.04 mm

Jawapan

δ = 2.04 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 181 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·2199 = 3.621 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0005·3.621 × 10⁸ = 181034 N = 181 kN

Jawapan

P_max = 181 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 38 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0.8704)) = 38 mm

d_i = 0.6·38 = 22.8 mm

Jawapan

d_o = 38 mm

Aci pepejal memerlukan d = 36.28 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 40.18 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm

Jawapan

d = 40.18 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 21.67 kN, R₂ = 43.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 21.67, M_C = 43.33, M_D = 62.5, M_E = 76.67 kN·m, M_F = 40.83, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 76.67 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 51 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2.5 + 8·5·2.5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 40·1.5 − 8·1.5·0.75 = 51 kN·m

Jawapan

M_x = 51 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 1257·97.5)/(22500 − 1257) = 73.67 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·1.331² = 42.23 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·23.83² = 0.8393 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (48000·120 − 1800·168)/(48000 − 1800) = 118.1 mm

Plat penuh pada ȳ

200·240³/12 + 48000·1.87² = 230.6 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·30³/12 + 1800·49.87² = 4.612 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 43.03 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −50 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36.06 MPa

σ₁ = −13.94 MPa, σ₂ = −86.06 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 13.94, 86.06)/2 = 43.03 MPa

Jawapan

τ_abs = 43.03 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 14.6 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −20 + 20·0.766 + 30·0.6428 = 14.6 MPa

Jawapan

σ_θ = 14.6 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.04377 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·5.95 × 10¹¹) = 0.04377 rad

Jawapan

θ_A = 0.04377 rad

Itu ialah 2.508°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·11000·6.944) = 3.329 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 52.64 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1000² = 52638 N = 52.64 kN

Jawapan

P_cr = 52.64 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 44.76 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa

Jawapan

σ_cr = 44.76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials