Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 55 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 42 mm, panjang 1.5 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 250 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 30 mm terikat pada A. Tork 750 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 200 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 3 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 3 mP = 40 kN pada 3 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 3 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 0 m35 kN @ 6 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 52.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ_max di tengah rentang.

P = 4 kNL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 46.43 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/6.462 × 10⁻⁶ = 46427 N = 46.43 kN

Jawapan

P = 46.43 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.389 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·2000/117000 = 1.915 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486.3·500/70000 = 3.474 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.389 mm

Jawapan

δ = 5.389 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.8547 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Sudut piuhan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·966855) = 0.01492 rad

φ = 0.01492·180/π = 0.8547°

Jawapan

φ = 0.8547°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 103.7 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 750 = −550 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 550 N·m

τ_max = 16·550000/(π·30³) = 103.7 MPa

Jawapan

τ_max = 103.7 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −41 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −40·1 = −40 kN·m

w: −2·1²/2 = −1 kN·m

M_x = −40 − 1 = −41 kN·m

Jawapan

M_x = −41 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 77.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −7.5, M_D = 0, M_E = 7.5, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −35 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 1257·52.5)/(22500 − 1257) = 76.33 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·−1.331² = 42.23 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−23.83² = 0.8393 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 118.7 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

web: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·205 + 3200·100)/5800 = 147.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·10³/12 + 2600·(205 − 147.1)² = 8.747 × 10⁶ mm⁴

web: 16·200³/12 + 3200·(100 − 147.1)² = 1.776 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.747 × 10⁶ + 1.776 × 10⁷ = 2.65 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 210 − 147.1 = 62.93 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·62.93/2.65 × 10⁷ = 118.7 MPa

Jawapan

σ_atas = 118.7 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −49.73 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −60 − −40) = −99.46°

Sudut pada unsur

θ_p = −49.73°

Jawapan

θ_p = −49.73°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 457.8 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 141.5 MPa

R = √(141.5² + 282.9²) = 316.3 MPa

σ₁ = C + R = 457.8 MPa

σ₂ = C − R = −174.9 MPa

Jawapan

σ₁ = 457.8 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.778 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 2.778 mm

Jawapan

δ_max = 2.778 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 10.1 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, L = 8000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 5.048 mm

Tambah kedua-dua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 10.1 mm

Jawapan

δ_max = 10.1 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.284 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4.284 kN

Jawapan

P_cr = 4.284 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 205.5 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 205.5 mm

Jawapan

d = 205.5 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 233.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials