Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 5 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 40 kN pada 5 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 240 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 320 mm dan web setebal 10 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 240 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 50 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 144 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 50 mmpusat lubang: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 130 MPa dan σᵧ = 40 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 140 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 29 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 25 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2487 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201.1 = 248.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 248.7/100000 = 0.002487 = 2487 µε

Jawapan

ε = 2487 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 243.9 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0006364) = 0.0006364 (gangsa)

Beban terbesar

P_max = 0.0006364·3.833 × 10⁸ = 243902 N = 243.9 kN

Jawapan

P_max = 243.9 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 14.94 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·38350) = 0.2608 rad

φ = 0.2608·180/π = 14.94°

Jawapan

φ = 14.94°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 22.11 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm

Jawapan

d = 22.11 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 34.67 kN, R₂ = 17.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 61.33, M_C = 106.7 kN·m, M_D = 96, M_E = 69.33, M_F = 34.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 106.7 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 38.33 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·5 + 2·6·3

R_B = 236/6 = 39.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 39.33 = 12.67 kN

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 12.67·5 − 2·5·2.5 = 38.33 kN·m

Jawapan

M_x = 38.33 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 216.3 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·320³ − 230·284³)/12

I_x = 2.163 × 10⁸ mm⁴ = 216.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 216.3 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 1500·144)/(28800 − 1500) = 118.7 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·1.319² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·50³/12 + 1500·25.32² = 1.274 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 31.62 MPa

Jejari yang diperlukan

C = (130 + 40)/2 = 85 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 85 = 55 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 45²) = 31.62 MPa

Jawapan

τ_xy = 31.62 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 63.25 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −25 MPa, R = 33.54 MPa

σ₁ = 8.541 MPa, σ₂ = −58.54 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(8.541² − 8.541·(−58.54) + (−58.54)²) = 63.25 MPa

Jawapan

σ_vM = 63.25 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 4.844 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 4.844 mm

Jawapan

δ_max = 4.844 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 8.858 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·3.99 × 10¹²) = 8.858 mm

Jawapan

δ_mid = 8.858 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 9.179 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2800² = 9179 N = 9.179 kN

Jawapan

P_cr = 9.179 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 49.09 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 49.09 mm

Jawapan

d = 49.09 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 244.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials