Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 40 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 2.5 m panjang membawa tork 1500 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 1500 N·mL = 2.5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 100 N·m bertindak pada B, 1 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mP₁ = 60 kN pada 1 mP₂ = 10 kN pada 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 0 m35 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan segi empat tepat berongga (kotak) mempunyai lebar luar B = 220 mm, tinggi luar H = 400 mm dan ketebalan dinding seragam t = 18 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

B = 220 mmH = 400 mmt = 18 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 50 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 22 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.511 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113.1 = 353.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 353.7/117000 = 0.003023 = 3023 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003023·500 mm = 1.511 mm

Jawapan

δ = 1.511 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 260.9 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·3063 = 4.783 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0005455) = 0.0005455 (gangsa)

Beban terbesar

P_max = 0.0005455·4.783 × 10⁸ = 260895 N = 260.9 kN

Jawapan

P_max = 260.9 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 60.81 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·2500/(80000·0.03491) = 1.343 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 60.81 mm

Jawapan

d = 60.81 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 49.51 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 100 = 2100 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 2100 N·m

τ_max = 16·2.1 × 10⁶/(π·60³) = 49.51 MPa

Jawapan

τ_max = 49.51 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 40 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1 + 10·6

R_B = 120/4 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 30 = 40 kN

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri

M_x = R_A·1 = 40·1 = 40 kN·m

Jawapan

M_x = 40 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 36.67 kN, R₂ = 43.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −53.33, M_D = −61.67, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −70 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 143.6 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

b = 184 mm, h = 364 mm

A = BH − bh = 220·400 − 184·364 = 21024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4.338 × 10⁸ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(4.338 × 10⁸/21024) = 143.6 mm

Jawapan

r = 143.6 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 14.17 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (6000·232.5 + 3960·110)/9960 = 183.8 mm

tepi atas: c = 245 − 183.8 = 61.2 mm

Momen luas kedua

I = 240·25³/12 + 6000·48.7² + 18·220³/12 + 3960·73.8² = 5.208 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Sagging: bahagian atas dalam mampatan, bahagian bawah dalam tegangan.

tepi atas: M = 150·5.208 × 10⁷/61.2 = 127.6 kN·m

tepi bawah: M = 50·5.208 × 10⁷/183.8 = 14.17 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 14.17 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 14.17 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 33.54 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((150 − 120)/2)² + −30²) = 33.54 MPa

Jawapan

τ_max = 33.54 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 81.03 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 40 + 20·0.766 + −40·−0.6428 = 81.03 MPa

Jawapan

σ_θ = 81.03 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 76.2 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2500³/(3·1.76 × 10¹²) = 65.1 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 11.1 mm

Tambahkannya

δ = 65.1 + 11.1 = 76.2 mm

Jawapan

δ = 76.2 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2500⁴/(384·70000·6.944) = 2.093 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 20.93 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 48.83 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

Jawapan

P_cr = 48.83 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 38.86 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7.5 = 133.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

Jawapan

σ_cr = 38.86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Kilasan aci

Kaedah

Daya ricih & momen lentur

Kaedah

Sentroid & momen luas kedua

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Kaedah

Pesongan rasuk

Lengkokan tiang

2Soalan latihan

3Larutan

Tegasan

Terikan (hukum Hooke)

Pemanjangan

Jawapan

Luas

Kekakuan paksi gabungan

Terikan penentu

Beban terbesar

Jawapan

Momen kutub yang diperlukan

Diameter

Jawapan

Tork dalaman

Tegasan ricih maksimum

Jawapan

Tindak balas penyokong

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Tindak balas penyokong

Momen lentur pada setiap tanda

Jawapan

Luas bersih dan momen luas kedua

Jejari legaran

Jawapan

Sentroid

Momen luas kedua

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Nilai penentu

Jawapan

Jejari bulatan Mohr

Jawapan

Persamaan transformasi

Jawapan

Unit yang konsisten

Setiap beban secara berasingan

Tambahkannya

Jawapan

Had pesongan

Momen luas kedua yang diperlukan

Jawapan

Momen luas kedua terkecil

Panjang berkesan

Beban kritikal

Jawapan

Momen luas kedua terkecil

Jejari legaran dan kelangsingan

Tegasan kritikal

Jawapan

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri