Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang pepejal 1 m panjang membawa tork 1000 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 20 kW pada 1000 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.5° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 3.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP = 15 kN pada 1 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 30 MPa dalam tegangan dan 100 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 1 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 23 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1137 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 25·1000/314.2 = 79.58 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 79.58/70000 = 0.001137 = 1137 µε

Jawapan

ε = 1137 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 527.8 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7.54 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·7.54 × 10⁸ = 527788 N = 527.8 kN

Jawapan

P_max = 527.8 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 52.3 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(39000·0.03491) = 734561 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 52.3 mm

Jawapan

d = 52.3 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 54.11 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 54.11 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(23.49, 54.11) = 54.11 mm

Jawapan

d = 54.11 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −12 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 30 − 12·3.5 = −12 kN

Jawapan

V_x = −12 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 47.85 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 5·8·4

R_B = 175/8 = 21.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 21.88 = 33.13 kN

Di manakah V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (33.13 − 15)/5 = 3.625 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 47.85 kN·m

Jawapan

M_max = 47.85 kN·m

Ia berlaku pada x = 3.625 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 12.86 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

web: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·150 + 1960·70)/7960 = 130.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·20³/12 + 6000·(150 − 130.3)² = 2.528 × 10⁶ mm⁴

web: 14·140³/12 + 1960·(70 − 130.3)² = 1.033 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.528 × 10⁶ + 1.033 × 10⁷ = 1.286 × 10⁷ mm⁴ = 12.86 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 12.86 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 26.91 kN·m

Sentroid

ȳ = (6000·230 + 4400·110)/10400 = 179.2 mm

tepi atas: c = 240 − 179.2 = 60.77 mm

Momen luas kedua

I = 300·20³/12 + 6000·50.77² + 20·220³/12 + 4400·69.23² = 5.45 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 30·5.45 × 10⁷/60.77 = 26.91 kN·m

tepi bawah: M = 100·5.45 × 10⁷/179.2 = 30.41 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 26.91 kN·m (tepi atas)

Jawapan

M_allow = 26.91 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 26.57 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/50 = 0.6, sin 2θ_s = −(−40)/50 = 0.8

2θ_s = atan2(40, 30) = 53.13°

Sudut pada unsur

θ_s = 26.57°

semakan: θ_s − θ_p = 26.57 − 71.57 = −45°

Jawapan

θ_s = 26.57°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 100 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −35 MPa, R = 54.08 MPa

σ₁ = 19.08 MPa, σ₂ = −89.08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(19.08² − 19.08·(−89.08) + (−89.08)²) = 100 MPa

Jawapan

σ_vM = 100 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 24.2 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·5000²/(3·1.32 × 10¹²·6000) = 24.2 mm

Jawapan

δ_P = 24.2 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 17.58 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.758 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17.58 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 17.58 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 79.96 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79.96 kN

Jawapan

P_cr = 79.96 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 34.27 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6.25 = 240

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

Jawapan

σ_cr = 34.27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials