Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 1000 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 200 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 3 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur M_B pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

M_B = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 90 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 20 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 7 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 26 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 125 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/300. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 125 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 24.84 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/1.208 × 10⁻⁵ = 24844 N = 24.84 kN

Jawapan

P = 24.84 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.222 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 87.54 MPa

σ₂ = 547.1 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87.54·2000/100000 = 1.751 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547.1·2000/200000 = 5.471 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.222 mm

Jawapan

δ = 7.222 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.155 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·613592) = 0.03761 rad

φ = 0.03761·180/π = 2.155°

Jawapan

φ = 2.155°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 95.49 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 1000 = 1200 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1200 N·m

τ_max = 16·1.2 × 10⁶/(π·40³) = 95.49 MPa

Jawapan

τ_max = 95.49 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 19.17 kN, R₂ = 60.83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 19.17, M_C = 38.33, M_D = 57.5, M_E = 76.67 kN·m, M_F = 60.83, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 76.67 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_B = −6 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6·3

R_B = 216/5 = 43.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 43.2 = 28.8 kN

Keratan pada B dan simpan juluran

Beban pada juluran, w·a, bertindak pada a/2 dari B dan menyebabkan rasuk melentur secara hogging di atas penyokong.

M_B = −w·a²/2 = −12·1²/2 = −6 kN·m

Jawapan

M_B = −6 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 55.83 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·75 − 1257·90)/(30000 − 1257) = 74.34 mm

Plat penuh pada ȳ

200·150³/12 + 30000·0.6558² = 56.26 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·15.66² = 0.4337 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 55.83 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 55.83 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 144.2 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

web: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·175 + 2240·80)/11240 = 156.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·30³/12 + 9000·(175 − 156.1)² = 3.901 × 10⁶ mm⁴

web: 14·160³/12 + 2240·(80 − 156.1)² = 1.774 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.901 × 10⁶ + 1.774 × 10⁷ = 2.164 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 156.1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·156.1/2.164 × 10⁷ = 144.2 MPa

Jawapan

σ_bawah = 144.2 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 82.46 MPa

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 120)/2)² + −20²) = 82.46 MPa

Jawapan

τ_max = 82.46 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 88.88 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −10 MPa, R = 50.99 MPa

σ₁ = 40.99 MPa, σ₂ = −60.99 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(40.99² − 40.99·(−60.99) + (−60.99)²) = 88.88 MPa

Jawapan

σ_vM = 88.88 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 57.45 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·7000²·1000²/(3·9.24 × 10¹¹·8000) = 57.45 mm

Jawapan

δ_P = 57.45 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 308.8 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·20) = 3.068 × 10⁸ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·3.068 × 10⁸/125)^1/3 = 308.8 mm

Jawapan

h_req = 308.8 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 8.721 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

Jawapan

P_cr = 8.721 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 1.919 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

Jawapan

σ_cr = 1.919 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials