Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 50 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 1.44° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1.44°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 5 kW pada 1500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 10 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 8 mw = 4 kN/m dari 4 hingga 7 m

x₀ = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 80 mm dan diameter dalam d = 56 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 80 mmd = 56 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 30 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 14 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 10 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2910 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 203.7/70000 = 0.00291 = 2910 µε

Jawapan

ε = 2910 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 21.8 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·175929/385369 = 27391 N

Tegasan

σ₂ = 27391/1257 = 21.8 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 21.8 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 80.06 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1.44·π/180 = 0.02513 rad

Modulus ricih

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0.02513) = 80056 MPa

G = 80.06 GPa

Jawapan

G = 80.06 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 15.94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·40)) = 15.94 mm

Jawapan

d = 15.94 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 35 kN, R₂ = 55 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 140, M_D = 210 kN·m, M_E = 160, M_F = 110, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 210 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x₀ = 4.938 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·3·5.5

R_B = 66/8 = 8.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8.25 = 3.75 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 3.75/4 = 4.938 m

Jawapan

x₀ = 4.938 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 24.41 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 2564 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.528 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(1.528 × 10⁶/2564) = 24.41 mm

Jawapan

r = 24.41 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 13.13 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (4500·187.5 + 1440·90)/5940 = 163.9 mm

tepi atas: c = 195 − 163.9 = 31.14 mm

Momen luas kedua

I = 300·15³/12 + 4500·23.64² + 8·180³/12 + 1440·73.86² = 1.434 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 30·1.434 × 10⁷/31.14 = 13.82 kN·m

tepi bawah: M = 150·1.434 × 10⁷/163.9 = 13.13 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 13.13 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 13.13 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 54.08 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 80)/2)² + −30²) = 54.08 MPa

Jawapan

τ_max = 54.08 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −10.13 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −30·0.766 + 20·0.6428 = −10.13 MPa

Jawapan

τ_θ = −10.13 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 8.138 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 8.138 mm

Jawapan

δ = 8.138 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 27.34 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 27.34 mm

Jawapan

δ_max = 27.34 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 12.02 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1050² = 12016 N = 12.02 kN

Jawapan

P_cr = 12.02 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 33.36 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33.36 mm

Jawapan

d = 33.36 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 239.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials