Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 1000 N·m bertindak pada B, 1 m dari A, dan tork 500 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 7.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 7.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP = 20 kN pada 1 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 20° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 14 kNw = 10 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 18 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.03451 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 80000·500/1.159 × 10⁹ = 0.03451 mm

Jawapan

δ = 0.03451 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.065 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 35.37 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35.37·500/100000 = 0.1768 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124.3·500/70000 = 0.8881 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.065 mm

Jawapan

δ = 1.065 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.801 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·38350) = 0.04889 rad

φ = 0.04889·180/π = 2.801°

Jawapan

φ = 2.801°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 119.4 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 1000 = 1500 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1.5 × 10⁶/(π·40³) = 119.4 MPa

Jawapan

τ_max = 119.4 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 15 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Potong pada x = 7.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 32·7.5 − 8·7.5·3.75 = 15 kN·m

Jawapan

M_x = 15 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 30.08 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 6·5·2.5

R_B = 95/5 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 19 = 31 kN

Di manakah V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (31 − 20)/6 = 1.833 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 30.08 kN·m

Jawapan

M_max = 30.08 kN·m

Ia berlaku pada x = 1.833 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 168.2 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·120 − 2827·84)/(36000 − 2827) = 123.1 mm

Plat penuh pada ȳ

150·240³/12 + 36000·−3.068² = 173.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−39.07² = 4.952 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 168.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 168.2 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 58.1 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

web: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·155 + 2520·70)/10320 = 134.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·30³/12 + 7800·(155 − 134.2)² = 3.945 × 10⁶ mm⁴

web: 18·140³/12 + 2520·(70 − 134.2)² = 1.452 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.945 × 10⁶ + 1.452 × 10⁷ = 1.846 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 170 − 134.2 = 35.76 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·35.76/1.846 × 10⁷ = 58.1 MPa

Jawapan

σ_atas = 58.1 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 76.96 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 105 − 45·0.766 − (−10)·0.6428 = 76.96 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 133 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 76.96 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −33.91 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −10 + 40·0.342 + −40·0.9397 = −33.91 MPa

Jawapan

σ_θ = −33.91 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 16.73 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·1.32 × 10¹²) = 11.93 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 4.794 mm

Tambahkannya

δ = 11.93 + 4.794 = 16.73 mm

Jawapan

δ = 16.73 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 40.4 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 25.97 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 14.43 mm

Tambahkannya

δ_max = 25.97 + 14.43 = 40.4 mm

Jawapan

δ_max = 40.4 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 48.83 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

Jawapan

P_cr = 48.83 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 11.05 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

Jawapan

σ_cr = 11.05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials