Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1.5 m. Tork 100 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 30 kW pada 3000 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 0 m50 kN @ 12 m55 kN @ 6 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 52.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 17 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.4799 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·3063 = 3.126 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·600/3.126 × 10⁸ = 0.4799 mm

Jawapan

δ = 0.4799 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 773.4 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·8482 = 1.031 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0009091) = 0.00075 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.00075·1.031 × 10⁹ = 773421 N = 773.4 kN

Jawapan

P_max = 773.4 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 4.37 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·3000/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.003715 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·79522) = 0.07255 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.003715 + 0.07255 = 0.07626 rad = 4.37°

Jawapan

φ_C = 4.37°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 27.41 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·40·0.5904)) = 27.41 mm

d_i = 0.8·27.41 = 21.93 mm

Jawapan

d_o = 27.41 mm

Aci pepejal memerlukan d = 22.99 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 18 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·1 − 4·1·0.5 = 18 kN·m

Jawapan

M_x = 18 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 20 kN, R₂ = 130 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −30, M_D = −50, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −200 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 76.07 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

web: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·255 + 4800·120)/12000 = 201 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 240·30³/12 + 7200·(255 − 201)² = 2.154 × 10⁷ mm⁴

web: 20·240³/12 + 4800·(120 − 201)² = 5.453 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.154 × 10⁷ + 5.453 × 10⁷ = 7.607 × 10⁷ mm⁴ = 76.07 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 76.07 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 41.86 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 600·52.5)/(22500 − 600) = 75.62 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·−0.6164² = 42.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·20³/12 + 600·−23.12² = 0.3406 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 41.86 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 41.86 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −52.02 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 110 − 120) = −104°

Sudut pada unsur

θ_p = −52.02°

Jawapan

θ_p = −52.02°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −36.3 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −40 + 30·0.766 + −30·0.6428 = −36.3 MPa

Jawapan

σ_θ = −36.3 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 3.333 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 3.333 mm

Jawapan

δ = 3.333 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 27.41 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·5000³/(48·3.99 × 10¹²) = 11.1 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 16.32 mm

Tambahkannya

δ_max = 11.1 + 16.32 = 27.41 mm

Jawapan

δ_max = 27.41 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 8.032 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/4000² = 8032 N = 8.032 kN

Jawapan

P_cr = 8.032 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 44.22 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

Jawapan

σ_cr = 44.22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials