Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 50 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 3 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 6 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 55 kN pada 6 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 45 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 4 kNa = 5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 50 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 57.75 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.2/3.463 × 10⁻⁶ = 57752 N = 57.75 kN

Jawapan

P = 57.75 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.254 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 142.6 MPa

σ₂ = 618.9 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142.6·500/117000 = 0.6094 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618.9·500/117000 = 2.645 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.254 mm

Jawapan

δ = 3.254 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 11.49 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·38350) = 0.2006 rad

φ = 0.2006·180/π = 11.49°

Jawapan

φ = 11.49°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 70.02 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·40·0.5904)) = 70.02 mm

d_i = 0.8·70.02 = 56.01 mm

Jawapan

d_o = 70.02 mm

Aci pepejal memerlukan d = 58.74 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 31.67 kN, R₂ = 18.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 31.67, M_C = 63.33 kN·m, M_D = 55, M_E = 36.67, M_F = 18.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 63.33 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 252 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 10·10·5

R_B = 830/10 = 83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 83 = 72 kN

Potong pada x = 6 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 72·6 − 10·6·3 = 252 kN·m

Jawapan

M_x = 252 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 51.18 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

web: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·310 + 2400·150)/5200 = 236.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·20³/12 + 2800·(310 − 236.2)² = 1.536 × 10⁷ mm⁴

web: 8·300³/12 + 2400·(150 − 236.2)² = 3.581 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.536 × 10⁷ + 3.581 × 10⁷ = 5.118 × 10⁷ mm⁴ = 51.18 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 51.18 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 40.63 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 1500·45)/(22500 − 1500) = 77.14 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·−2.143² = 42.29 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·30³/12 + 1500·−32.14² = 1.662 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 40.63 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 40.63 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 42.72 MPa

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−30 − −60)/2)² + −40²) = 42.72 MPa

Jawapan

τ_max = 42.72 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.983

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −25 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 21.1 MPa, σ₂ = −71.1 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 92.2 MPa

n = 275/92.2 = 2.983

Jawapan

n = 2.983

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 1.392 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·5000²·1000²/(3·3.99 × 10¹²·6000) = 1.392 mm

Jawapan

δ_P = 1.392 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 10.46 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.046 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10.46 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 10.46 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.09 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3500² = 3090 N = 3.09 kN

Jawapan

P_cr = 3.09 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 101.5 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 101.5 mm

Jawapan

d = 101.5 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 236.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials