Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 120 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 30 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mP = 50 kN pada 5 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 130 × 22 mm, web setinggi 360 mm dan setebal 14 mm, dan bebibir bawah 210 × 18 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 130 × 22 mmweb: 14 × 360 mmbebibir bawah: 210 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 20 mm membawa daya mampatan paksi 20 kN bersama-sama dengan tork 500 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 20 mmF = −20 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 2.5 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 19 kNa = 2.5 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 100 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/250. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 100 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.667 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 244.5/200000 = 0.001222 = 1222 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001222·3000 mm = 3.667 mm

Jawapan

δ = 3.667 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 149.2 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 61.12 MPa

σ₂ = 149.2 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 149.2 MPa

Jawapan

σ_max = 149.2 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.7205 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·79522) = 0.01258 rad

φ = 0.01258·180/π = 0.7205°

Jawapan

φ = 0.7205°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 45.99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·75)) = 45.99 mm

Jawapan

d = 45.99 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 50 kN, R₂ = 70 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 160, M_D = 210, M_E = 240 kN·m, M_F = 130, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 240 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 25.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 2·8·4

R_B = 314/8 = 39.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 39.25 = 26.75 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 26.75·1 − 2·1·0.5 = 25.75 kN·m

Jawapan

M_x = 25.75 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 8.602 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

web: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·127.5 + 2160·60)/5460 = 100.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·15³/12 + 3300·(127.5 − 100.8)² = 2.415 × 10⁶ mm⁴

web: 18·120³/12 + 2160·(60 − 100.8)² = 6.187 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.415 × 10⁶ + 6.187 × 10⁶ = 8.602 × 10⁶ mm⁴ = 8.602 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 8.602 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 291.6 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 2860 mm², y = 389 mm

web: A = 5040 mm², y = 198 mm

bebibir bawah: A = 3780 mm², y = 9 mm

Sentroid

ȳ = (2860·389 + 5040·198 + 3780·9)/11680 = 183.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 130·22³/12 + 2860·205.4² = 1.208 × 10⁸ mm⁴

web: 14·360³/12 + 5040·14.4² = 5.548 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 210·18³/12 + 3780·174.6² = 1.153 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.208 × 10⁸ + 5.548 × 10⁷ + 1.153 × 10⁸

I_x = 2.916 × 10⁸ mm⁴ = 291.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 291.6 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 60.21 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((60 − −30)/2)² + 40²) = 60.21 MPa

Jawapan

τ_max = 60.21 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 319.9 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −20000/(π·20²/4) = −20000/314.2 = −63.66 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −31.83 MPa

R = √((−31.83)² + 318.3²) = 319.9 MPa

Jawapan

τ_max = 319.9 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 51.05 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 39.27 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.02356 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 51.05 mm

Jawapan

δ_B = 51.05 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 186.4 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·18) = 5.393 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·5.393 × 10⁷/100)^1/3 = 186.4 mm

Jawapan

h_req = 186.4 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 42.97 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3500² = 42970 N = 42.97 kN

Jawapan

P_cr = 42.97 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 77.11 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12.5 = 160

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

Jawapan

σ_cr = 77.11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials