Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 50 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 40 kN·m pada x = 5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 8 mM₀ = 40 kN·m ikut arah jam, pada 5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 0 m60 kN @ 6 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 140 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 220 mm dan web setebal 10 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 140 mmH = 220 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 18.95 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113.1 = 442.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 442.1/70000 = 0.006316 = 6316 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.006316·3000 mm = 18.95 mm

Jawapan

δ = 18.95 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.663 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 23.87 MPa

σ₂ = 149.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23.87·500/70000 = 0.1705 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149.2·2000/200000 = 1.492 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.663 mm

Jawapan

δ = 1.663 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.8768 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·251327) = 0.0153 rad

φ = 0.0153·180/π = 0.8768°

Jawapan

φ = 0.8768°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 14.23 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6.711 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·50/6.711 × 10⁶ = 14.23 MPa

Jawapan

τ_max = 14.23 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 15 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/8 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·5 + 40 = 15 kN·m

Jawapan

M_x = 15 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 16.67 kN, R₂ = 103.3 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −33.33, M_D = −76.67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −120 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 56.74 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 220 − 2·18 = 184 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·220³ − 130·184³)/12

I_x = 5.674 × 10⁷ mm⁴ = 56.74 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 56.74 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 41.73 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

web: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·295 + 4480·140)/7480 = 202.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·30³/12 + 3000·(295 − 202.2)² = 2.608 × 10⁷ mm⁴

web: 16·280³/12 + 4480·(140 − 202.2)² = 4.658 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.608 × 10⁷ + 4.658 × 10⁷ = 7.266 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 202.2 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·202.2/7.266 × 10⁷ = 41.73 MPa

Jawapan

σ_bawah = 41.73 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 45 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 40 − 40) = 90°

Sudut pada unsur

θ_p = 45°

Jawapan

θ_p = 45°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 16.48 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 55 + −5·−0.1736 + −40·0.9848 = 16.48 MPa

Jawapan

σ_θ = 16.48 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 71.47 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 71.47 mm

Jawapan

δ = 71.47 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·70000·5.556) = 3.214 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 38.86 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38.86 kN

Jawapan

P_cr = 38.86 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials