Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 500 N·m bertindak pada B, 3 m dari A, dan tork 400 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 1.2 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 3 mBC = 1.2 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari daya ricih V_x sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6.5 mP₁ = 70 kN pada 1 mP₂ = 20 kN pada 6.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mw = 6 kN/m dari 1 hingga 3 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 160 × 20 mm, web setinggi 350 mm dan setebal 14 mm, dan bebibir bawah 210 × 22 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 160 × 20 mmweb: 14 × 350 mmbebibir bawah: 210 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 600 mm dan ketebalan dinding 10 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1.2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 25° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 600 mmt = 10 mmp = 1.2 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 5 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 713 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 71.3/100000 = 0.000713 = 713 µε

Jawapan

ε = 713 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 477.8 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1.147 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0004167) = 0.0004167 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0004167·1.147 × 10⁹ = 477784 N = 477.8 kN

Jawapan

P_max = 477.8 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.309 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·79522) = 0.04031 rad

φ = 0.04031·180/π = 2.309°

Jawapan

φ = 2.309°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 16.3 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 500 = −100 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa

Jawapan

τ_max = 16.3 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −20 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·1 + 20·6.5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 40 = 50 kN

Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri

V_x = R_A − P₁ = 50 − 70 = −20 kN

Jawapan

V_x = −20 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 9 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 6/6 = 2 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 6·2 − 6·1²/2 = 9 kN·m

Jawapan

M_max = 9 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 46.55 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

web: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·267.5 + 3120·130)/6120 = 197.4 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·15³/12 + 3000·(267.5 − 197.4)² = 1.48 × 10⁷ mm⁴

web: 12·260³/12 + 3120·(130 − 197.4)² = 3.175 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.48 × 10⁷ + 3.175 × 10⁷ = 4.655 × 10⁷ mm⁴ = 46.55 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 46.55 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 314 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 3200 mm², y = 382 mm

web: A = 4900 mm², y = 197 mm

bebibir bawah: A = 4620 mm², y = 11 mm

Sentroid

ȳ = (3200·382 + 4900·197 + 4620·11)/12720 = 176 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 160·20³/12 + 3200·206² = 1.359 × 10⁸ mm⁴

web: 14·350³/12 + 4900·21.02² = 5.218 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 210·22³/12 + 4620·165² = 1.259 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.359 × 10⁸ + 5.218 × 10⁷ + 1.259 × 10⁸

I_x = 3.14 × 10⁸ mm⁴ = 314 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 314 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 50.25 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((50 − 40)/2)² + 50²) = 50.25 MPa

Jawapan

τ_max = 50.25 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 6.894 MPa

Tegasan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1.2·300/10 = 36 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (36 − 18)·sin 25°·cos 25° = 6.894 MPa

Jawapan

|τ_n| = 6.894 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.002339 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.002339 rad

Jawapan

θ_A = 0.002339 rad

Itu ialah 0.134°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.122 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·2000³/(48·1.61 × 10¹²) = 1.346 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 0.7764 mm

Tambahkannya

δ_max = 1.346 + 0.7764 = 2.122 mm

Jawapan

δ_max = 2.122 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 27.57 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 27.57 mm

Jawapan

d = 27.57 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 203.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials