Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 45 kN pada 6 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 110 mm dan diameter dalam d = 82 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 110 mmd = 82 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 30 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 100 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 35 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1492 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201.1 = 149.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 149.2/100000 = 0.001492 = 1492 µε

Jawapan

ε = 1492 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.523 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 31.18 MPa

σ₂ = 95.49 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31.18·2000/70000 = 0.8909 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 95.49·2000/117000 = 1.632 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.523 mm

Jawapan

δ = 2.523 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 11.26 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·79522) = 0.1965 rad

φ = 0.1965·180/π = 11.26°

Jawapan

φ = 11.26°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 32.18 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·40/2.374 × 10⁶ = 32.18 MPa

Jawapan

τ_max = 32.18 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −2 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 8 − 4·2.5 = −2 kN

Jawapan

V_x = −2 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 96 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 2·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37 = 28 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 28·4 − 2·4·2 = 96 kN·m

Jawapan

M_x = 96 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 34.3 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 4222 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.968 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(4.968 × 10⁶/4222) = 34.3 mm

Jawapan

r = 34.3 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 5.026 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (6000·175 + 2880·80)/8880 = 144.2 mm

tepi atas: c = 190 − 144.2 = 45.81 mm

Momen luas kedua

I = 200·30³/12 + 6000·30.81² + 18·160³/12 + 2880·64.19² = 2.416 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Sagging: bahagian atas dalam mampatan, bahagian bawah dalam tegangan.

tepi atas: M = 150·2.416 × 10⁷/45.81 = 79.1 kN·m

tepi bawah: M = 30·2.416 × 10⁷/144.2 = 5.026 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 5.026 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 5.026 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 53.35 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −50 − −20) = 106.7°

Sudut pada unsur

θ_p = 53.35°

Jawapan

θ_p = 53.35°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 302.4 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 282.9²) = 283.6 MPa

σ₁ = C + R = 302.4 MPa

σ₂ = C − R = −264.7 MPa

Jawapan

σ₁ = 302.4 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.103 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 2.103 mm

Jawapan

δ_max = 2.103 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·70000·5.556) = 3.214 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 135.7 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135.7 kN

Jawapan

P_cr = 135.7 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 59.32 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 59.32 mm

Jawapan

d = 59.32 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 134.9, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials