Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 20 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 42 mm, panjang 2 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 250 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 5 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP = 40 kN pada 5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 35 kN pada 2 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 210 mm dan setebal 14 mm, kedalaman keseluruhan 300 mm dan web setebal 10 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 210 mmH = 300 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa momen lentur 750 N·m bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 400 N·m

τ_max = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 47.76 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1.698 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/5.234 × 10⁻⁶ = 47761 N = 47.76 kN

Jawapan

P = 47.76 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 6.211 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 20000·141372/644026 = 4390 N

Tegasan

σ₂ = 4390/706.9 = 6.211 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 6.211 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.3704 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Sudut piuhan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2000/(80000·966855) = 0.006464 rad

φ = 0.006464·180/π = 0.3704°

Jawapan

φ = 0.3704°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 166.7 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·20/190984 = 166.7 MPa

Jawapan

τ_max = 166.7 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −275 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −40·5 = −200 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −200 − 75 = −275 kN·m

Jawapan

M_A = −275 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 57 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 5·5·2.5

R_B = 132.5/5 = 26.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26.5 = 33.5 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 33.5·2 − 5·2·1 = 57 kN·m

Jawapan

M_x = 57 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 914 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 300 − 2·14 = 272 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·300³ − 200·272³)/12

I_x = 1.371 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 1.371 × 10⁸/150

S_x = 914039 mm³ = 914 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 914 × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 137.9 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

web: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·285 + 3360·140)/4560 = 178.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·10³/12 + 1200·(285 − 178.2)² = 1.371 × 10⁷ mm⁴

web: 12·280³/12 + 3360·(140 − 178.2)² = 2.684 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.371 × 10⁷ + 2.684 × 10⁷ = 4.055 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 290 − 178.2 = 111.8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·111.8/4.055 × 10⁷ = 137.9 MPa

Jawapan

σ_atas = 137.9 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −37.98 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −10 − −30) = −75.96°

Sudut pada unsur

θ_p = −37.98°

Jawapan

θ_p = −37.98°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 67.64 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119.4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 59.68 MPa

R = √(59.68² + 31.83²) = 67.64 MPa

Jawapan

τ_max = 67.64 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 69.75 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·8.4 × 10¹¹) = 69.75 mm

Jawapan

δ = 69.75 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16.67) = 5.523 × 10⁸ mm⁴

I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 552.3 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 44.29 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44.29 kN

Jawapan

P_cr = 44.29 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 8.812 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7.5 = 280

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

Jawapan

σ_cr = 8.812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials