Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari hasil darab titik a·b bagi a = (5, 5, −3) dan b = (−6, 3, −2).
a = (5, 5, −3)b = (−6, 3, −2)
a·b =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Bagi a = (−1, 4, −4) dan b = (1, −6, 1), cari komponen-x (a × b)x hasil darab silang a × b.
a = (−1, 4, −4)b = (1, −6, 1)
(a × b)x =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 6 m dan beban titik P pada 8 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.
L = 8 mP = 65 kN pada 8 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 m
MA = kN·m
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.
L = 10 mP = 15 kN pada 8 mw = 12 kN/m dari 3 hingga 8 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 10 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 60 kNbeban mengufuk = 10 kN ←
FBC = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 8 m, dan B setinggi 3 m dari tanah dan 1.2 m di sebelah kanan A. Beban menegak 20 kN bertindak pada anggota AB di K, 0.3 m (secara mengufuk) dari A. Cari daya FBC dalam anggota BC.
P = 20 kNL = 8 mH = 3 mjarak mengufuk A ke B = 1.2 mjarak mengufuk A ke K = 0.3 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSukar
Bum seragam mengufuk AB berberat 3 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari hujungnya B ke titik C pada dinding, 3 m di atas A. Beban 5 kN tergantung pada B. Cari tegangan T dalam kabel.
W = 5 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 3 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.
L = 8 mP1 = 75 kN pada 1 mP2 = 10 kN pada 2 m
Mmax = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum Mmax di antara penyokong.
L = 8 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 8 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 140 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 130 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari momen luas keduanya Ix pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.
b = 140 mmh = 130 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 120 × 22 mm, web setinggi 300 mm dan setebal 10 mm, dan bebibir bawah 290 × 10 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya Ix pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang, komponen demi komponen
(a × b)x = aybz − azby = 4·1 − (−4)·(−6) = −20
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·1 − (−1)·1 = −3
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−6) − 4·1 = 2
Komponen yang diminta
(a × b)x = −20
Jawapan
(a × b)x = −20
Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: MA = 628 kN·m
Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.
Daya paduan beban teragih
W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m
Momen pada dinding
MA = P·a + W·x̄ = 65·8 + 36·3 = 628 kN·m
Jawapan
MA = 628 kN·m
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 30 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·8 + 12·5·5.5
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 45 = 30 kN
Jawapan
RA = 30 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAB = −7.211 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·3 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6 = 4 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0.5547 = −7.211 kN
Jawapan
FAB = −7.211 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FBC = −51.85 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 − 10·2 → Cy = 36.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 36.67 = 23.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Anggota dua daya BC
BC = √(6.8² + 3²) = 7.432 m
Seluruh rangka: momen pada A
Tanah menolak BC pada C sepanjang CB; komponen mengufuknya melalui A, hanya yang menegak mempunyai momen.
FBC·(3/7.432)·8 = 20·0.3
FBC = 1.858 kN (mampatan)
Jawapan
FBC = 1.858 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 9.192 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Sudut kabel
BC = √(3² + 3²) = 4.243 m, sin β = 0.7071
Momen pada A
T·0.7071·3 = 5·3 + 3·1.5
T = 9.192 kN
Jawapan
T = 9.192 kN
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 73.13 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
ΣMA = 0: RB·8 = 75·1 + 10·2
RB = 95/8 = 11.88 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 11.88 = 73.13 kN
Momen di bawah setiap beban
Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.
di bawah P1: M = RA·1 = 73.13·1 = 73.13 kN·m
di bawah P2: M = RB·6 = 11.88·6 = 71.25 kN·m
Nilai terbesar
Mmax = 73.13 kN·m (di bawah P1)
Jawapan
Mmax = 73.13 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 14.22 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Pecahkan kepada segi empat tepat
Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.
bes: A1 = 140·12 = 1680 mm², y1 = 6 mm
dua kaki: A2 = 2·12·118 = 2832 mm², y2 = 12 + 118/2 = 71 mm
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Pecahkan kepada tiga segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir atas: A = 2640 mm², y = 321 mm
web: A = 3000 mm², y = 160 mm
bebibir bawah: A = 2900 mm², y = 5 mm
Sentroid
ȳ = (2640·321 + 3000·160 + 2900·5)/8540 = 157.1 mm