Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Kaedah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban

Kaedah

  1. Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
  2. Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
  3. Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
  4. Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
xyzab

Cari unjuran skalar compb a bagi a = (1, 5, 2) pada b = (5, −2, 2), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (1, 5, 2)b = (5, −2, 2)
compb a =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
xyzab

Bagi a = (6, 4, 1) dan b = (−5, 1, −3), cari komponen-x (a × b)x hasil darab silang a × b.

a = (6, 4, 1)b = (−5, 1, −3)
(a × b)x =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m1.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 4 mP1 = 45 kN pada 1 mP2 = 20 kN pada 2.5 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 10 mP = 15 kN pada 2 mw = 12 kN/m dari 5 hingga 10 m
RB = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH40 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB10 kN25 kN8 m3 m3 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 25 kN ←
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
5 kN3 m3 m1.35 mABCK

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B setinggi 3 m dari tanah dan 1.35 m di sebelah kanan A. Beban menegak 5 kN bertindak pada anggota AB di K, 0.3375 m (secara mengufuk) dari A. Cari daya FBC dalam anggota BC.

P = 5 kNL = 3 mH = 3 mjarak mengufuk A ke B = 1.35 mjarak mengufuk A ke K = 0.3375 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSukar
5 kN2 kN2 m4 mABC

Bum seragam mengufuk AB berberat 2 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari hujungnya B ke titik C pada dinding, 4 m di atas A. Beban 5 kN tergantung pada B. Cari tegangan T dalam kabel.

W = 5 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 4 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
10 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 4 m10 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
10 kN55 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m50 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
2002018018xdimensi dalam mm

Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
2304401612xM = 100 kN·mdimensi dalam mm

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 230 mm dan setebal 16 mm, kedalaman keseluruhan 440 mm dan web setebal 12 mm. Ia menanggung momen lentur 100 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur maksimum σmax dalam keratan.

B = 230 mmH = 440 mmtf = 16 mmtw = 12 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: compb a = −0.1741

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 1·5 + 5·(−2) + 2·2 = −1

Panjang b

|b| = √(5² + (−2)² + 2²) = 5.745

Unjuran skalar

compb a = a·b/|b| = −1/5.745 = −0.1741

Jawapan

compb a = −0.1741

Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)x = −13

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)x = aybz − azby = 4·(−3) − 1·1 = −13
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−5) − 6·(−3) = 13
(a × b)z = axby − aybx = 6·1 − 4·(−5) = 26

Komponen yang diminta

(a × b)x = −13

Jawapan

(a × b)x = −13

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 23.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m1.5 m1.5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·4 = 45·1 + 20·2.5
RB = 95/4 = 23.75 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 23.75 = 41.25 kN

Jawapan

RB = 23.75 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 48 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2 m3 m5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 7.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·2 + 12·5·7.5
RB = 480/10 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 48 = 27 kN

Jawapan

RB = 48 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 14.14 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 14.14 kN (C), DG: 14.14 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FAB = −22.1 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB10 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·3 − 25·3 → Cy = −5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −5.625 = 15.63 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15.63/0.7071 = −22.1 kN

Jawapan

FAB = −22.1 kN (mampatan)
7.Rangka & mesin

Jawapan: FBC = 0.642 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Anggota dua daya BC

BC = √(1.65² + 3²) = 3.424 m

Seluruh rangka: momen pada A

Tanah menolak BC pada C sepanjang CB; komponen mengufuknya melalui A, hanya yang menegak mempunyai momen.

FBC·(3/3.424)·3 = 5·0.3375
FBC = 0.642 kN (mampatan)

Jawapan

FBC = 0.642 kN
8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 6.708 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Sudut kabel

BC = √(2² + 4²) = 4.472 m, sin β = 0.8944

Momen pada A

T·0.8944·2 = 5·2 + 2·1
T = 6.708 kN

Jawapan

T = 6.708 kN
9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 40 kN, R2 = 60 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 80, MC = 160, MD = 180 kN·m, ME = 160, MF = 100, MG = 0

Jawapan

Tanda D: MD = 180 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 36.25 kN, R2 = 78.75 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −20, MC = 32.5, MD = −15, ME = −62.5, MF = −110 kN·m, MG = 0

Jawapan

Tanda F: MF = −110 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 26.78 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
web: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·190 + 3240·90)/7240 = 145.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·20³/12 + 4000·(190 − 145.2)² = 8.144 × 10⁶ mm⁴
web: 18·180³/12 + 3240·(90 − 145.2)² = 1.864 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.144 × 10⁶ + 1.864 × 10⁷ = 2.678 × 10⁷ mm⁴ = 26.78 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 26.78 × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σmax = 55.16 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan berkongsi paksi x.

hw = 440 − 2·16 = 408 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·440³ − 218·408³)/12
Ix = 3.989 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 220 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·220/3.989 × 10⁸ = 55.16 MPa

Jawapan

σmax = 55.16 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics