Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (0, −15, 30) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(4, 4, −4) ke titik B(−2, −2, 0). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (0, −15, 30) NA(4, 4, −4) mB(−2, −2, 0) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−5, 4, 3), b = (−2, 3, −3) dan c = (−3, 2, −1).

a = (−5, 4, 3)b = (−2, 3, −3)c = (−3, 2, −1)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 10 kN pada 4 mP₂ = 35 kN pada 8 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 6 mP = 30 kN pada 5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 5 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 15 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓C: 40 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓H: 40 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4.5 m dan tali ikat mengufuk DE 1.8 m di atas tanah. Beban menegak 5 kN bertindak pada kaki AC di K, 0.75 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 5 kNAB = 2 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 0.75 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 2.4 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 1.2 m. Daya mengufuk 2 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 2 kNAB = 4.8 mketinggian C = 2.4 mketinggian DE = 1.2 m

T = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 15 kN pada 2.5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 210 mm dan diameter dalam d = 182 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 210 mmd = 182 mm

r = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 150 × 12 mm, web setinggi 210 mm dan setebal 8 mm, dan bebibir bawah 280 × 22 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 150 × 12 mmweb: 8 × 210 mmbebibir bawah: 280 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 210 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (−2, −2, 0) − (4, 4, −4) = (−6, −6, 4) m

Kerja

W = F·d = 0·(−6) + (−15)·(−6) + 30·4 = 210 J

Jawapan

W = 210 J

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 28

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−1) − (−3)·2 = 3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−3) − (−2)·(−1) = 7

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·2 − 3·(−3) = 5

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−5)·3 + 4·7 + 3·5 = 28

V = |28| = 28

Jawapan

V = 28

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −8.333 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4 + 35·8

R_B = 320/6 = 53.33 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 10 + 35 − 53.33 = −8.333 kN

Jawapan

R_A = −8.333 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 19.58 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 5·5·2.5

R_B = 212.5/6 = 35.42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 35.42 = 19.58 kN

Jawapan

R_A = 19.58 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 2.813 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11.25 = 3.75 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.9701 = −11.6 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.6)·0.2425 = 2.813 kN

Jawapan

F_AC = 2.813 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 36.67 kN (T), BC: 36.67 kN (T), CD: 56.67 kN (T), DE: 56.67 kN (T), FG: 113.3 kN (C), GH: 113.3 kN (C), AF: 95.83 kN (C), HE: 70.83 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 45.83 kN (T), HC: 20.83 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 0.6944 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 5·0.75/2 = 1.875 kN

Kaki BC: momen pada C

1.875·1 = T·2.7

T = 0.6944 kN

Jawapan

T = 0.6944 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 2 kN

Seluruh rangka: momen pada A

B_y·4.8 = 2·2.4

B_y = 1 kN

Kaki BC: momen pada C

1·2.4 = T·1.2

T = 2 kN

Jawapan

T = 2 kN

T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 4.375 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 10·3.5 − 5·3.5·1.75 = 4.375 kN·m

Jawapan

M_x = 4.375 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 27.5 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2.5 + 10·5·2.5

R_B = 162.5/5 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32.5 = 32.5 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 32.5·1 − 10·1·0.5 = 27.5 kN·m

Jawapan

M_x = 27.5 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 69.47 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 8621 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.161 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(4.161 × 10⁷/8621) = 69.47 mm

Jawapan

r = 69.47 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 84.02 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 1800 mm², y = 238 mm

web: A = 1680 mm², y = 127 mm

bebibir bawah: A = 6160 mm², y = 11 mm

Sentroid

ȳ = (1800·238 + 1680·127 + 6160·11)/9640 = 73.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 150·12³/12 + 1800·164.4² = 4.867 × 10⁷ mm⁴

web: 8·210³/12 + 1680·53.4² = 1.096 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 280·22³/12 + 6160·62.6² = 2.439 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.867 × 10⁷ + 1.096 × 10⁷ + 2.439 × 10⁷

I_x = 8.402 × 10⁷ mm⁴ = 84.02 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 84.02 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics