Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (−1, −3, 7) dan b = (4, 6, 6).

a = (−1, −3, 7)b = (4, 6, 6)

a·b =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−1, −1, 4), B(3, 0, 1) dan C(1, −1, 0). Koordinat dalam meter.

A(−1, −1, 4)B(3, 0, 1)C(1, −1, 0)

A = m²

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 10 kN pada 1 mP₂ = 30 kN pada 6 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 8 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 4 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 6 mw₀ = 8 kN/mP = 50 kN pada 4 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 60 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

C: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN →G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 100 N pada A (240 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (150 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin F_O.

F = 100 NOA = 240 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSukar

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 6 m, dan B setinggi 2 m dan 0.9 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 4 kN pada K, 0.675 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 4 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk A_x di A.

P = 4 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 2 mjarak mengufuk A ke B = 0.9 mjarak mengufuk A ke K = 0.675 m

A_x = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mP₁ = 40 kN pada 3 mP₂ = 15 kN pada 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 6 m60 kN @ 1 m5 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 270 mm dan diameter dalam d = 246 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 270 mmd = 246 mm

r = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 40 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = 20

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = (−1)·4 + (−3)·6 + 7·6 = (−4) + (−18) + 42 = 20

Jawapan

a·b = 20

Positif: sudut antara vektor kurang daripada 90°.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 5.477 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (4, 1, −3)

AC = C − A = (2, 0, −4)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·(−4) − (−3)·0 = −4

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·2 − 4·(−4) = 10

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 4·0 − 1·2 = −2

|AB × AC| = √((−4)² + 10² + (−2)²) = 10.95

Luas segi tiga

A = ½·10.95 = 5.477 m²

Jawapan

A = 5.477 m²

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 47.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 30·6

R_B = 190/4 = 47.5 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 10 + 30 − 47.5 = −7.5 kN

Jawapan

R_B = 47.5 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 296 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Momen pada dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 24·4 + 50·4 = 296 kN·m

Jawapan

M_A = 296 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −48.07 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 40 = 20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0.8321 = −48.07 kN

Jawapan

F_BC = −48.07 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 51.25 kN (T), BC: 51.25 kN (T), CD: 63.75 kN (T), DE: 63.75 kN (T), FG: 77.5 kN (C), GH: 77.5 kN (C), AF: 37.12 kN (C), HE: 90.16 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 37.12 kN (T), HC: 19.45 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_O = 188.7 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 100·240/150 = 160 N

Tindak balas pin

O_x = 160 N, O_y = 100 N

F_O = √(160² + 100²) = 188.7 N

Jawapan

F_O = 188.7 N

8.Rangka & mesin

Jawapan: A_x = 0.5475 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Arah BC

BC = 5.478 m, cos = 0.931, sin = 0.3651

Seluruh rangka: momen pada A

F_BC·0.3651·6 = 4·0.675 + 4·2

F_BC = 4.885 kN

Imbangan mengufuk

A_x + 4 − 4.885·0.931 = 0

A_x = 0.5475 kN → |A_x| = 0.5475 kN

Jawapan

A_x = 0.5475 kN

A_x menuju ke kanan.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 39 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 15·6

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 42 = 13 kN

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri

M_x = R_A·3 = 13·3 = 39 kN·m

Jawapan

M_x = 39 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 37.5 kN, R₂ = 77.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 5, M_D = −30, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −70 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 91.32 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 9726 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8.11 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(8.11 × 10⁷/9726) = 91.32 mm

Jawapan

r = 91.32 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 348.1 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152.5 mm

web: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·152.5 + 2240·70)/7740 = 128.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·25³/12 + 5500·(152.5 − 128.6)² = 3.422 × 10⁶ mm⁴

web: 16·140³/12 + 2240·(70 − 128.6)² = 1.136 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.422 × 10⁶ + 1.136 × 10⁷ = 1.478 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 128.6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·128.6/1.478 × 10⁷ = 348.1 MPa

Jawapan

σ_bawah = 348.1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statik: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Kaedah

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah

Rangka & mesin

Kaedah

Daya ricih & momen lentur

Kaedah

Sentroid & momen luas kedua

2Soalan latihan

3Larutan

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

Jawapan

Vektor sisi

Hasil darab silang

Luas segi tiga

Jawapan

Momen pada A

Keseimbangan menegak

Jawapan

Daya paduan beban segi tiga

Momen pada dinding

Jawapan

Tindak balas penyokong

Sambungan C

Jawapan

Sendi B

Semak dengan kaedah sendi

Jawapan

Daya pada B

Tindak balas pin

Jawapan

Arah BC

Seluruh rangka: momen pada A

Imbangan mengufuk

Jawapan

Tindak balas penyokong

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Tindak balas penyokong

Momen lentur pada setiap tanda

Jawapan

Luas bersih dan momen luas kedua

Jejari legaran

Jawapan

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Tegasan lenturan

Jawapan

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri