Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (−3, 6, −5) dan b = (6, 6, k) berserenjang.

a = (−3, 6, −5)b = (6, 6, k)

k =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−3, 3, −5), b = (5, −2, 1) dan c = (2, 3, 1).

a = (−3, 3, −5)b = (5, −2, 1)c = (2, 3, 1)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A dan pasangan daya ikut arah jam M pada 2.5 m dari A. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

L = 5 mP = 45 kN pada 3 mM = 30 kN·m (ikut arah jam) pada 2.5 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (10 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 5 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 3 mAD = 10 mP = 15 kN pada 5 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓C: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓H: 35 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 5° dengan garis AC. Daya ke bawah 200 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.

F = 200 Nθ = 5°

Q = N

8.Rangka & mesinSukar

Bum seragam mengufuk AB berberat 1.5 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari hujungnya B ke titik C pada dinding, 4 m di atas A. Beban 2 kN tergantung pada B. Cari tegangan T dalam kabel.

W = 2 kNW_b = 1.5 kNAB = 6 mAC = 4 m

T = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 10 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 10 kN pada 1 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 100 mm dan setebal 24 mm, kedalaman keseluruhan 380 mm dan web setebal 14 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 100 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 3.6

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−3)·6 + 6·6 + (−5)·k = 0

18 + (−5)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −18/(−5) = 3.6

Jawapan

k = 3.6

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 89

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·1 − 1·3 = −5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·2 − 5·1 = −3

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·3 − (−2)·2 = 19

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−3)·(−5) + 3·(−3) + (−5)·19 = −89

V = |−89| = 89

Jawapan

V = 89

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 33 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 45·3 − 30 = 0

R_B = 165/5 = 33 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 45 − 33 = 12 kN

Jawapan

R_B = 33 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 32.14 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 15·2

R_D = 4.286 kN

V_C = 15 − 4.286 = 10.71 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 10.71 = 10.71 kN

M_A = 10.71·3 = 32.14 kN·m

Jawapan

M_A = 32.14 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 95 kN (T), BC: 95 kN (T), CD: 58.33 kN (T), DE: 58.33 kN (T), FG: 116.7 kN (C), GH: 116.7 kN (C), AF: 118.8 kN (C), HE: 72.92 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 27.08 kN (T), HC: 72.92 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 6.562 kN (T), BC: 6.562 kN (T), CD: 22.19 kN (T), DE: 22.19 kN (T), FG: 60.63 kN (C), GH: 60.63 kN (C), AF: 69.27 kN (C), HE: 36.98 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 31.77 kN (T), HC: 5.729 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: Q = 1143 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 5° = 200

F_link = 1147 N

Daya pengapitan

Q = F_link·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N

Jawapan

Q = 1143 N

Nisbah daya Q/F = 5.715 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.

8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 4.958 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Sudut kabel

BC = √(6² + 4²) = 7.211 m, sin β = 0.5547

Momen pada A

T·0.5547·6 = 2·6 + 1.5·3

T = 4.958 kN

Jawapan

T = 4.958 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 41.67 kN, R₂ = 28.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 83.33, M_C = 166.7 kN·m, M_D = 130, M_E = 93.33, M_F = 56.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 166.7 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 31.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·1 + 5·10·5

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26 = 34 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 34·1 − 5·1·0.5 = 31.5 kN·m

Jawapan

M_x = 31.5 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 195 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·380³ − 86·332³)/12

I_x = 1.95 × 10⁸ mm⁴ = 195 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 195 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 33.82 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

web: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·230 + 3960·110)/6360 = 155.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·20³/12 + 2400·(230 − 155.3)² = 1.348 × 10⁷ mm⁴

web: 18·220³/12 + 3960·(110 − 155.3)² = 2.409 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.348 × 10⁷ + 2.409 × 10⁷ = 3.757 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 240 − 155.3 = 84.72 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·84.72/3.757 × 10⁷ = 33.82 MPa

Jawapan

σ_atas = 33.82 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics