Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari sudut θ antara vektor a = (−5, −6, 6) dan b = (1, 0, 6), dalam darjah.
a = (−5, −6, 6)b = (1, 0, 6)
θ = °
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (3, 0, 3) dan b = (2, 3, 0) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂y.
a = (3, 0, 3)b = (2, 3, 0)n̂z > 0
n̂y =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 3.5 mAC = 5 mP1 = 60 kN pada 2.5 mP2 = 80 kN pada 5 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.
L = 5 mP = 15 kN pada 1 mw = 12 kN/m dari 3 hingga 4 m
RB = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 25 kN
FAC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 30 kNbeban mengufuk = 10 kN →
FBC = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 0.5 m di bawah A. Beban 6 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.
P = 6 kNAD = 2 mAB = 2.4 mAC = 0.5 m
A = kN
8.Rangka & mesinSukar
Bum seragam mengufuk AB berberat 1.5 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari hujungnya B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 6 kN tergantung pada B. Cari tegangan T dalam kabel.
W = 6 kNWb = 1.5 kNAB = 3 mAC = 1 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 50 kN·m pada x = 3 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 4 mM0 = 50 kN·m ikut arah jam, pada 3 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
45 kN @ 0 m25 kN @ 6 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Plat 150 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 180 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Plat 100 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: θ = 58.84 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−5)·1 + (−6)·0 + 6·6 = 31
Magnitud
|a| = √((−5)² + (−6)² + 6²) = 9.849
|b| = √(1² + 0² + 6²) = 6.083
Sudut
cos θ = 31/(9.849·6.083) = 0.5175
θ = arccos(0.5175) = 58.84°
Jawapan
θ = 58.84°
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: n̂y = 0.4264
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang
(a × b)x = aybz − azby = 0·0 − 3·3 = −9
(a × b)y = azbx − axbz = 3·2 − 3·0 = 6
(a × b)z = axby − aybx = 3·3 − 0·2 = 9
Normalkan
Komponen-z bagi a × b sudah positif.
|a × b| = √((−9)² + 6² + 9²) = 14.07
n̂ = (−9, 6, 9)/14.07 = (−0.6396, 0.4264, 0.6396)
n̂y = 0.4264
Jawapan
n̂y = 0.4264
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = −17.14 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·3.5 = 60·2.5 + 80·5
RB = 550/3.5 = 157.1 kN
Keseimbangan menegak
RA = 60 + 80 − 157.1 = −17.14 kN
Jawapan
RA = −17.14 kN
RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 11.4 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 12·1·3.5
RB = 57/5 = 11.4 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 11.4 = 15.6 kN
Jawapan
RB = 11.4 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAC = 4.688 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 + 10·2 → Cy = 28.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 28.75 = 1.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya topang
FCD = 6·2.4/(0.2425·2) = 29.69 kN
Komponen di A
Ax = FCD·cos α = 28.8 kN (ke arah dinding)
Ay = 6 − FCD·sin α = −1.2 kN
Magnitud
A = √(28.8² + −1.2²) = 28.82 kN
Jawapan
A = 28.82 kN
Ay negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 21.35 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Sudut kabel
BC = √(3² + 1²) = 3.162 m, sin β = 0.3162
Momen pada A
T·0.3162·3 = 6·3 + 1.5·1.5
T = 21.35 kN
Jawapan
T = 21.35 kN
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = 12.5 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.
Tindak balas penyokong
Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/4 = 12.5 kN (ke atas)
RA = −RB = −12.5 kN (ke bawah)
Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya
Bahagian kiri kini mengandungi RA dan pasangan daya.
Mx = RA·a + M0 = −12.5·3 + 50 = 12.5 kN·m
Jawapan
Mx = 12.5 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: B (x = 1 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 111.5 kN, R2 = 56.5 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = 15.5, MD = 14, ME = 0.5, MF = −25, MG = 0
Jawapan
Tanda B: MB = −45 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (45000·150 − 1963·180)/(45000 − 1963) = 148.6 mm
Plat penuh pada ȳ
150·300³/12 + 45000·1.369² = 337.6 × 10⁶ mm⁴
Lubang pada ȳ
π·50⁴/64 + 1963·31.37² = 2.239 × 10⁶ mm⁴
Tolak
Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴
Jawapan
Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 27.74 × 10⁶ mm⁴
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.