Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (−30, 30, −10) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−1, 2, −2) ke titik B(−1, −1, 3). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (−30, 30, −10) NA(−1, 2, −2) mB(−1, −1, 3) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−4, 0, 3) dan b = (−2, −3, −2) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (−4, 0, 3)b = (−2, −3, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 2.5 m dan beban titik P pada 3.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 5 mP = 25 kN pada 3.5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 2.5 m

M_A = kN·m

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 10 mP = 55 kN pada 6 mw = 10 kN/m dari 8 hingga 9 m

R_B = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 20 kN ↓C: 40 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓C: 30 kN ↓D: 20 kN ↓H: 35 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 3.6 m, dan tali ikat mengufuk DE 1.5 m di atas tanah. Beban 12 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 12 kNAB = 5 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 1.5 m

C = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2.5 m dan tali ikat mengufuk DE 1.5 m di atas tanah. Beban menegak 5 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.8 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 5 kNAB = 4.8 mketinggian C = 2.5 mketinggian DE = 1.5 mjarak mengufuk A ke K = 1.8 m

C = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5.5 mP₁ = 65 kN pada 3 mP₂ = 15 kN pada 5.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 6 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 140 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 180 mmh = 140 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 110 × 16 mm, web setinggi 210 mm dan setebal 14 mm, dan bebibir bawah 240 × 20 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 110 × 16 mmweb: 14 × 210 mmbebibir bawah: 240 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = −140 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (−1, −1, 3) − (−1, 2, −2) = (0, −3, 5) m

Kerja

W = F·d = (−30)·0 + 30·(−3) + (−10)·5 = −140 J

Jawapan

W = −140 J

Kerja negatif: daya bertindak kebanyakannya melawan gerakan.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = −0.6823

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−2) − 3·(−3) = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−2) − (−4)·(−2) = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−3) − 0·(−2) = 12

Normalkan

Komponen-z bagi a × b sudah positif.

|a × b| = √(9² + (−14)² + 12²) = 20.52

n̂ = (9, −14, 12)/20.52 = (0.4386, −0.6823, 0.5848)

n̂_y = −0.6823

Jawapan

n̂_y = −0.6823

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 103.1 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 5·2.5 = 12.5 kN, x̄ = 1.25 m

Momen pada dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 25·3.5 + 12.5·1.25 = 103.1 kN·m

Jawapan

M_A = 103.1 kN·m

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 41.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 8.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 10·1·8.5

R_B = 415/10 = 41.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 41.5 = 23.5 kN

Jawapan

R_B = 41.5 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 53.44 kN (T), BC: 53.44 kN (T), CD: 44.06 kN (T), DE: 44.06 kN (T), FG: 73.13 kN (C), GH: 73.13 kN (C), AF: 89.06 kN (C), HE: 73.44 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 32.81 kN (T), HC: 48.44 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 30.42 kN (T), BC: 30.42 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 90.83 kN (C), GH: 90.83 kN (C), AF: 81.77 kN (C), HE: 51.56 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 31.77 kN (T), HC: 18.23 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: C = 9.328 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya tali ikat daripada kaki BC

B_y = 6 kN

T = 6·2.5/2.1 = 7.143 kN

Komponen daya pin pada BC

C_x = T = 7.143 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Magnitud

C = √(7.143² + 6²) = 9.328 kN

Jawapan

C = 9.328 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: C = 4.875 kN

Tindak balas penyokong pada B

B_y = 5·1.8/4.8 = 1.875 kN

Daya tali ikat

T = 1.875·2.4/1 = 4.5 kN

Daya pin pada BC

C_x = 4.5 kN, C_y = −1.875 kN

C = √(4.5² + 1.875²) = 4.875 kN

Jawapan

C = 4.875 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 31.88 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·3 + 15·5.5

R_B = 277.5/4 = 69.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 69.38 = 10.63 kN

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri

M_x = R_A·3 = 10.63·3 = 31.88 kN·m

Jawapan

M_x = 31.88 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 7 kN, R₂ = 28 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 5, M_C = 6, M_D = 3, M_E = −4, M_F = −15 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −15 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 11.91 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

dua kaki: A₂ = 2·14·126 = 3528 mm², y₂ = 14 + 126/2 = 77 mm

Sentroid

ȳ = (2520·7 + 3528·77)/6048 = 47.83 mm

Teorem paksi selari

bes: 180·14³/12 + 2520·(7 − 47.83)² = 4.243 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·14·126³/12 + 3528·(77 − 47.83)² = 7.669 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.243 × 10⁶ + 7.669 × 10⁶

I_x = 1.191 × 10⁷ mm⁴ = 11.91 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 11.91 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 83.83 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 1760 mm², y = 238 mm

web: A = 2940 mm², y = 125 mm

bebibir bawah: A = 4800 mm², y = 10 mm

Sentroid

ȳ = (1760·238 + 2940·125 + 4800·10)/9500 = 87.83 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 110·16³/12 + 1760·150.2² = 3.973 × 10⁷ mm⁴

web: 14·210³/12 + 2940·37.17² = 1.487 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 240·20³/12 + 4800·77.83² = 2.924 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.973 × 10⁷ + 1.487 × 10⁷ + 2.924 × 10⁷

I_x = 8.383 × 10⁷ mm⁴ = 83.83 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 83.83 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statik: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Kaedah

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah

Rangka & mesin

Kaedah

Daya ricih & momen lentur

Kaedah

Sentroid & momen luas kedua

2Soalan latihan

3Larutan

Sesaran

Kerja

Jawapan

Hasil darab silang

Normalkan

Jawapan

Daya paduan beban teragih

Momen pada dinding

Jawapan

Gambar rajah jasad bebas

Keseimbangan

Jawapan

Sendi D

Semak dengan kaedah sendi

Jawapan

Sendi G

Semak dengan kaedah sendi

Jawapan

Daya tali ikat daripada kaki BC

Komponen daya pin pada BC

Magnitud

Jawapan

Tindak balas penyokong pada B

Daya tali ikat

Daya pin pada BC

Jawapan

Tindak balas penyokong

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Tindak balas penyokong

Momen lentur pada setiap tanda

Jawapan

Pecahkan kepada segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Jawapan

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Jawapan

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri