Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari hasil darab titik a·b bagi a = (2, 6, 1) dan b = (−5, −5, −6).
a = (2, 6, 1)b = (−5, −5, −6)
a·b =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−3, 4, −4), B(−3, 0, −4) dan C(0, −3, −1). Koordinat dalam meter.
A(−3, 4, −4)B(−3, 0, −4)C(0, −3, −1)
A = m²
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 40 kN pada 0.5 mP2 = 35 kN pada 6 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 4 m dari A, condong pada 45° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 1 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.
L = 10 mP = 60 kN pada 4 m, θ = 45°Q = 80 kN pada 1 m
α = °
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 55 kN
FAC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 35 kNbeban mengufuk = 10 kN →
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 0.8 m di bawah A. Beban 2 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.
P = 2 kNAD = 0.8 mAB = 2 mAC = 0.8 m
A = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 2.4 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 0.6 m. Daya mengufuk 5 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 5 kNAB = 5 mketinggian C = 2.4 mketinggian DE = 0.6 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari daya ricih Vx sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 6 mP1 = 70 kN pada 1 mP2 = 40 kN pada 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m
Vx = kN
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.
L = 5 mP = 65 kN pada 3 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 5 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 220 mm dan diameter dalam d = 188 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.
D = 220 mmd = 188 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 10 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σatas pada tepi atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·0.5 + 35·6
RB = 230/4 = 57.5 kN
Keseimbangan menegak
RA = 40 + 35 − 57.5 = 17.5 kN
Jawapan
RB = 57.5 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: α = 66.47 °
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Komponen P
Pv = 60·sin 45° = 42.43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42.43 kN
Tindak balas
ΣMA = 0: RB·10 = 42.43·4 + 80·1 → RB = 24.97 kN
Ay = 42.43 + 80 − 24.97 = 97.46 kN
Ax = Ph = 42.43 kN
Arah pada A
α = atan(Ay/Ax) = atan(97.46/42.43) = 66.47°
Jawapan
α = 66.47°
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAC = 22.92 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·1 → Cy = 9.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 9.167 = 45.83 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 + 10·2 → Cy = 9.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 9.167 = 25.83 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −25.83/0.8944 = −28.88 kN
Jawapan
FAB = −28.88 kN (mampatan)
7.Rangka & mesin
Jawapan: A = 5.831 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya topang
FCD = 2·2/(0.7071·0.8) = 7.071 kN
Komponen di A
Ax = FCD·cos α = 5 kN (ke arah dinding)
Ay = 2 − FCD·sin α = −3 kN
Magnitud
A = √(5² + −3²) = 5.831 kN
Jawapan
A = 5.831 kN
Ay negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 3.333 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By·5 = 5·2.4
By = 2.4 kN
Kaki BC: momen pada C
2.4·2.5 = T·1.8
T = 3.333 kN
Jawapan
T = 3.333 kN
T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Vx = −22 kN
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.
ΣMA = 0: RB·5 = 70·1 + 40·6
RB = 310/5 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 62 = 48 kN
Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri
Vx = RA − P1 = 48 − 70 = −22 kN
Jawapan
Vx = −22 kN
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 102 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 65·3 + 8·5·2.5
RB = 295/5 = 59 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 59 = 46 kN
Di manakah V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 22 kN
V(3⁺) = 22 − 65 = −43 kN
Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.
Momen maksimum
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 46·3 − 8·3²/2 = 102 kN·m
Jawapan
Mmax = 102 kN·m
Ia berlaku pada x = 3 m dari A.
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: r = 72.35 mm
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.
Luas bersih dan momen luas kedua
A = π(D² − d²)/4 = 10254 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.367 × 10⁷ mm⁴
Jejari legaran
r = √(I/A) = √(5.367 × 10⁷/10254) = 72.35 mm
Jawapan
r = 72.35 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: σatas = 11.01 MPa
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm