Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (1, −1, −5) dan b = (k, 0, 4) berserenjang.

a = (1, −1, −5)b = (k, 0, 4)

k =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (5, −3, −4) dan b = (3, 4, −1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-xnya n̂_x.

a = (5, −3, −4)b = (3, 4, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 5 m dan beban titik P pada 6 m dari dinding. Cari tindak balas menegak R_A pada dinding.

L = 10 mP = 60 kN pada 6 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 5 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 8 mP = 35 kN pada 3 mw = 4 kN/m dari 1 hingga 6 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 20 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

F: 40 kN ↓F: 30 kN →

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Rangka & mesinSederhana

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 100 N pada A (100 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (150 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin F_O.

F = 100 NOA = 100 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSukar

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 4 m, dan B setinggi 2 m dan 2.4 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 5 kN pada K, 1.8 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 8 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk A_x di A.

P = 5 kNQ = 8 kNL = 4 mH = 2 mjarak mengufuk A ke B = 2.4 mjarak mengufuk A ke K = 1.8 m

A_x = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1.5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 2 mP = 20 kN pada 1.5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mP = 20 kN pada 9 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 140 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 120 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 140 mmh = 120 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 150 × 12 mm, web setinggi 240 mm dan setebal 12 mm, dan bebibir bawah 270 × 18 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 150 × 12 mmweb: 12 × 240 mmbebibir bawah: 270 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 20

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 1·k + (−1)·0 + (−5)·4 = 0

−20 + 1·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−20)/1 = 20

Jawapan

k = 20

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_x = 0.5372

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−1) − (−4)·4 = 19

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·3 − 5·(−1) = −7

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·4 − (−3)·3 = 29

Normalkan

Komponen-z bagi a × b sudah positif.

|a × b| = √(19² + (−7)² + 29²) = 35.37

n̂ = (19, −7, 29)/35.37 = (0.5372, −0.1979, 0.8199)

n̂_x = 0.5372

Jawapan

n̂_x = 0.5372

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 100 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2.5 m

Keseimbangan menegak

R_A = P + W = 60 + 40 = 100 kN

Jawapan

R_A = 100 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 33.13 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 4·5·3.5

R_B = 175/8 = 21.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 21.88 = 33.13 kN

Jawapan

R_A = 33.13 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 6 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 8 = 12 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8/0.8 = −10 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10)·0.6 = 6 kN

Jawapan

F_AC = 6 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 45 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 25 kN (C), BF: 20 kN (C), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 25 kN (T), DG: 25 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_O = 120.2 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 100·100/150 = 66.67 N

Tindak balas pin

O_x = 66.67 N, O_y = 100 N

F_O = √(66.67² + 100²) = 120.2 N

Jawapan

F_O = 120.2 N

8.Rangka & mesin

Jawapan: A_x = 3 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Arah BC

BC = 2.561 m, cos = 0.6247, sin = 0.7809

Seluruh rangka: momen pada A

F_BC·0.7809·4 = 5·1.8 + 8·2

F_BC = 8.004 kN

Imbangan mengufuk

A_x + 8 − 8.004·0.6247 = 0

A_x = −3 kN → |A_x| = 3 kN

Jawapan

A_x = 3 kN

Tanda tolak bermaksud A_x menuju ke kiri.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −15 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −20·0.5 = −10 kN·m

w: −10·1²/2 = −5 kN·m

M_x = −10 − 5 = −15 kN·m

Jawapan

M_x = −15 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 160.2 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·9 + 12·10·5

R_B = 780/10 = 78 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 78 = 62 kN

Di manakah V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 62/12 = 5.167 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 62·5.167 − 12·5.167²/2 = 160.2 kN·m

Jawapan

M_max = 160.2 kN·m

Ia berlaku pada x = 5.167 m dari A.

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 7.061 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 140·14 = 1960 mm², y₁ = 7 mm

dua kaki: A₂ = 2·14·106 = 2968 mm², y₂ = 14 + 106/2 = 67 mm

Sentroid

ȳ = (1960·7 + 2968·67)/4928 = 43.14 mm

Teorem paksi selari

bes: 140·14³/12 + 1960·(7 − 43.14)² = 2.591 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·14·106³/12 + 2968·(67 − 43.14)² = 4.469 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.591 × 10⁶ + 4.469 × 10⁶

I_x = 7.061 × 10⁶ mm⁴ = 7.061 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 7.061 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 106.6 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 1800 mm², y = 264 mm

web: A = 2880 mm², y = 138 mm

bebibir bawah: A = 4860 mm², y = 9 mm

Sentroid

ȳ = (1800·264 + 2880·138 + 4860·9)/9540 = 96.06 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 150·12³/12 + 1800·167.9² = 5.079 × 10⁷ mm⁴

web: 12·240³/12 + 2880·41.94² = 1.889 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 270·18³/12 + 4860·87.06² = 3.696 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.079 × 10⁷ + 1.889 × 10⁷ + 3.696 × 10⁷

I_x = 1.066 × 10⁸ mm⁴ = 106.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 106.6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics