Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Kaedah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban

Kaedah

  1. Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
  2. Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
  3. Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
  4. Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
xyzab

Cari unjuran skalar compb a bagi a = (3, −6, 5) pada b = (3, −4, −1), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (3, −6, 5)b = (3, −4, −1)
compb a =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
xyzrFOA

Daya F = (30, 0, 10) N bertindak pada titik A(3, 2, 0). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap asalan O(0, 0, 0).

F = (30, 0, 10) NA(3, 2, 0) mO(0, 0, 0) m
|M| = N·m
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
w0​ = 20 kN/mABRB​ = ?6 m

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 20 kN/m di B. Cari tindak balas penyokong menegak RB.

L = 6 mw0 = 20 kN/m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m2 m1 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 6 mP = 50 kN pada 2 mw = 10 kN/m dari 3 hingga 5 m
RB = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH30 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

H: 30 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABBCACACB40 kN30 kN6 m1 m2 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 40 kNbeban mengufuk = 30 kN ←
FBC = kN
7.Rangka & mesinSederhana
6 kN2 m1 m3.5 mABCDE

Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 2 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4.5 m, dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban 6 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 6 kNAB = 2 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSukar
4 kN5 kN3 m4 m1.35 mABCK

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B setinggi 4 m dan 1.35 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 4 kN pada K, 0.3375 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 5 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk Ax di A.

P = 4 kNQ = 5 kNL = 3 mH = 4 mjarak mengufuk A ke B = 1.35 mjarak mengufuk A ke K = 0.3375 m
Ax = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 6 kN/mABkeratan2.5 m5.5 m

Cari daya ricih Vx pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 2.5 m
Vx = kN
10.Daya ricih & momen lenturSukar
6 kN/m45 kN60 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 0 m60 kN @ 12 m50 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
280203008xdimensi dalam mm

Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
1403012010xM = 15 kN·mdimensi dalam mm

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σatas pada tepi atas.

bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 15 kN·m
σatas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: compb a = 5.491

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 3·3 + (−6)·(−4) + 5·(−1) = 28

Panjang b

|b| = √(3² + (−4)² + (−1)²) = 5.099

Unjuran skalar

compb a = a·b/|b| = 28/5.099 = 5.491

Jawapan

compb a = 5.491
2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 70 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (3, 2, 0) − (0, 0, 0) = (3, 2, 0) m

Momen M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = 2·10 − 0·0 = 20 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 0·30 − 3·10 = −30 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 3·0 − 2·30 = −60 N·m

Magnitud

|M| = √(20² + (−30)² + (−60)²) = 70 N·m

Jawapan

|M| = 70 N·m
3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 40 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·4
RB = 40 kN
RA = 60 − 40 = 20 kN

Jawapan

RB = 40 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 30 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m1 m2 m1 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 10·2·4
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 30 = 40 kN

Jawapan

RB = 30 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 7.5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 22.5 kN (T), FG: 7.5 kN (C), GH: 22.5 kN (C), AF: 10.61 kN (C), HE: 31.82 kN (C), BF: 7.5 kN (T), CG: 0, DH: 7.5 kN (C), BG: 10.61 kN (C), DG: 10.61 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = 8.975 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 − 30·2 → Cy = −3.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − −3.333 = 43.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−3.333/0.3714 = 8.975 kN

Jawapan

FBC = 8.975 kN (tegangan)
7.Rangka & mesin

Jawapan: C = 3.12 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya tali ikat daripada kaki BC

By = 3 kN
T = 3·1/3.5 = 0.8571 kN

Komponen daya pin pada BC

Cx = T = 0.8571 kN, Cy = −By = −3 kN

Magnitud

C = √(0.8571² + 3²) = 3.12 kN

Jawapan

C = 3.12 kN
8.Rangka & mesin

Jawapan: Ax = 2.064 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Arah BC

BC = 4.327 m, cos = 0.3813, sin = 0.9244

Seluruh rangka: momen pada A

FBC·0.9244·3 = 4·0.3375 + 5·4
FBC = 7.698 kN

Imbangan mengufuk

Ax + 5 − 7.698·0.3813 = 0
Ax = −2.064 kN → |Ax| = 2.064 kN

Jawapan

Ax = 2.064 kN

Tanda tolak bermaksud Ax menuju ke kiri.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Vx = 9 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24keratan2.5 m5.5 m

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri keratan)
Vx = 24 − 6·2.5 = 9 kN

Jawapan

Vx = 9 kN
10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 71.33 kN, R2 = 119.7 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −90, MC = −49.33, MD = −132.7, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −240 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 61.19 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
web: Aw = 8·300 = 2400 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·310 + 2400·150)/8000 = 262 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·20³/12 + 5600·(310 − 262)² = 1.309 × 10⁷ mm⁴
web: 8·300³/12 + 2400·(150 − 262)² = 4.811 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.309 × 10⁷ + 4.811 × 10⁷ = 6.119 × 10⁷ mm⁴ = 61.19 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 61.19 × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σatas = 67.81 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm
web: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·135 + 1200·60)/5400 = 118.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·30³/12 + 4200·(135 − 118.3)² = 1.482 × 10⁶ mm⁴
web: 10·120³/12 + 1200·(60 − 118.3)² = 5.523 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.482 × 10⁶ + 5.523 × 10⁶ = 7.005 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 150 − 118.3 = 31.67 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·31.67/7.005 × 10⁶ = 67.81 MPa

Jawapan

σatas = 67.81 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics