Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−4, 4, −2) dan b = (6, 6, −2), dalam darjah.

a = (−4, 4, −2)b = (6, 6, −2)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (−2, −5, −2) dan b = (−3, 6, −2).

a = (−2, −5, −2)b = (−3, 6, −2)

A =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 8 mP₁ = 25 kN pada 2 mP₂ = 30 kN pada 4 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 6 mP = 55 kN pada 5 mw = 4 kN/m dari 4 hingga 5 m

R_B = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 4 mB ialah 5 m dari Abeban tegak = 50 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 50 kNbeban mengufuk = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 1.5 m di bawah A. Beban 3 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.

P = 3 kNAD = 0.75 mAB = 2.4 mAC = 1.5 m

A = kN

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 80 mm antara pin. Sambungan B berada 30 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 1500 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 30 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mP₁ = 40 kN pada 1 mP₂ = 75 kN pada 2.5 m

M_max = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 20 kN pada 2.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 170 mm dan setebal 24 mm, kedalaman keseluruhan 380 mm dan web setebal 10 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 170 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 5 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 85.61 °

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−4)·6 + 4·6 + (−2)·(−2) = 4

Magnitud

|a| = √((−4)² + 4² + (−2)²) = 6

|b| = √(6² + 6² + (−2)²) = 8.718

Sudut

cos θ = 4/(6·8.718) = 0.07647

θ = arccos(0.07647) = 85.61°

Jawapan

θ = 85.61°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 34.89

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−2) − (−2)·6 = 22

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − (−2)·(−2) = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·6 − (−5)·(−3) = −27

Luas

A = |a × b| = √(22² + 2² + (−27)²) = 34.89

Jawapan

A = 34.89

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 33.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·2 + 30·4

R_B = 170/8 = 21.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 21.25 = 33.75 kN

Jawapan

R_A = 33.75 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 48.83 kN

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, bertindak pada x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·5 + 4·1·4.5

R_B = 293/6 = 48.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 48.83 = 10.17 kN

Jawapan

R_B = 48.83 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −42.95 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 → C_y = 41.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 41.67 = 8.333 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41.67/0.9701 = −42.95 kN

Jawapan

F_BC = −42.95 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −19.76 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 − 25·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 18.75 = 31.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.9487 = −19.76 kN

Jawapan

F_BC = −19.76 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: A = 8.161 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya topang

F_CD = 3·2.4/(0.8944·0.75) = 10.73 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 4.8 kN (ke arah dinding)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −6.6 kN

Magnitud

A = √(4.8² + −6.6²) = 8.161 kN

Jawapan

A = 8.161 kN

A_y negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 1214 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 30/80 = 0.375, θ = 22.02°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 1618 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 1214 N

Jawapan

F = 1214 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 85.31 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 75·2.5

R_B = 227.5/4 = 56.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 56.88 = 58.13 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 58.13·1 = 58.13 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·1.5 = 56.88·1.5 = 85.31 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 85.31 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 85.31 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 47.33 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2.5 + 6·6·3

R_B = 158/6 = 26.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 26.33 = 29.67 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 29.67·2 − 6·2·1 = 47.33 kN·m

Jawapan

M_x = 47.33 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 1523 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·380³ − 160·332³)/12

I_x = 2.894 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 190 mm

S_x = I/c = 2.894 × 10⁸/190

S_x = 1.523 × 10⁶ mm³ = 1523 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 1523 × 10³ mm³

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 19.9 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147.5 mm

web: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·147.5 + 1960·70)/4660 = 114.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·15³/12 + 2700·(147.5 − 114.9)² = 2.919 × 10⁶ mm⁴

web: 14·140³/12 + 1960·(70 − 114.9)² = 7.153 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.919 × 10⁶ + 7.153 × 10⁶ = 1.007 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 155 − 114.9 = 40.1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·40.1/1.007 × 10⁷ = 19.9 MPa

Jawapan

σ_atas = 19.9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics