Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 53, 23, 24, 47, 58, 17, 57.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 108.
μ = 100σ = 8x = 108
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.2, 0.2, 0.25
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 6p = 0.7k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0485. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.0485
z =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 25% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 20 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −2.4 dan sisihan piawai 1.9. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.
n = 20d̄ = −2.4sd = 1.990%t(19) = 1.729
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 17 petak, min hasil 71.5 kg, sisihan piawai 6.5 kg. Kumpulan petak 2: 5 petak, min 68.5 kg, sisihan piawai 4.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 17x̄₁ = 71.5s₁ = 6.5n₂ = 5x̄₂ = 68.5s₂ = 4.595%t(20) = 2.086
had atas = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 100.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 7 mm. Talian 2: sampel 50 bahagian mempunyai min 102.4 mm, sisihan piawai diketahui 5 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 100x̄₁ = 100.5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 102.4 mmσ₂ = 5 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 19. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.05kuasa = 80%δ = 5σ = 19zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5, 10) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(5, 10)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.82
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 279/7 = 39.86
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 13.14² + (−16.86)² + (−15.86)² + 7.143² + 18.14² + (−22.86)² + 17.14² = 1905
Sisihan piawai
s = √(1905/6) = 17.82
Jawapan
s = 17.82
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = 1
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (108 − 100)/8 = 1
Jawapan
z = 1
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.195
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.2 + 3·0.25 = 1.35
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.2 + 9·0.25 = 3.25
Varians
Var(X) = 3.25 − 1.35² = 1.427
σ = √1.427 = 1.195
Jawapan
σ = 1.195
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.05954
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 15·0.72·0.34 = 15·0.49·0.0081 = 0.05954
Jawapan
P = 0.05954
5.Taburan normal
Jawapan: z = 1.66
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.0485 = 0.9515
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9515 di dalam jadual dan baca z.
z = 1.66
Jawapan
z = 1.66
6.Taburan normal
Jawapan: x = 182.7 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.75
z daripada jadual
z ≈ 0.67
Kembali kepada unit asal
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
Jawapan
x = 182.7 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −3.135 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 19, t = 1.729
Margin ralat
E = 1.729·1.9/√20 = 0.7346
Selang
−2.4 ± 0.7346 → [−3.135, −1.665]
Jawapan
had bawah = −3.135 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 9.529 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (16·6.5² + 4·4.5²)/20 = 37.85
sp = 6.152
Margin ralat
E = 2.086·6.152·√(1/17 + 1/5) = 6.529
Selang
3 ± 6.529 → [−3.529, 9.529]
Jawapan
had atas = 9.529 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −1.91
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(7²/100 + 5²/50) = √0.99 = 0.995
Statistik ujian
z = (100.5 − 102.4)/0.995 = −1.91
Jawapan
z = −1.91
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 90
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1.645 + 0.842)·19/5)² = 89.31
Bundarkan ke atas
n = 90
Jawapan
n = 90
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9806
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 531/5 = 106.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1125
Pekali korelasi
r = 208/√(40·1125) = 0.9806
Jawapan
r = 0.9806
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −4.7
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Garis regresi
b = 124/40 = 3.1
a = 17.8 − 3.1·6 = −0.8
ŷ = −0.8 + 3.1·x
Nilai ramalan
ŷ = −0.8 + 3.1·5 = 14.7
Reja
e = 10 − 14.7 = −4.7
Jawapan
e = −4.7
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1