Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
202530354045505560

Cari sisihan piawai sampel s data: 18, 47, 40, 48, 60, 44.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 42.5?

μ = 50σ = 15x = 42.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.310.0520.2530.2540.15μ = 1.9

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.25, 0.25, 0.15
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
n = 8, p = 0.7: P(X ≤ 1) = ?k012345678

8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 8p = 0.7
P =
5.Taburan normalSederhana
171186.75P = ?

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 171 dan 186.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 186.75
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 500x = ?25%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).

μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 123 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Model 2: 60 telefon, min 120 j, sisihan piawai diketahui 6 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 123 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 120 hσ₂ = 6 h90%
had bawah = h
8.Selang keyakinanSukar
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

Sisihan piawai populasi ialah 34. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 34E = 0.599%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.06402.064

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 99.1 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99.1s = 5n = 25
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 120.3. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 120.3σ = 15n = 10095%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy28496108161018xy5101015

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2554686818971010512125xy51050100x = 5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 6x = 5
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.89

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 257/6 = 42.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−24.83)² + 4.167² + (−2.833)² + 5.167² + 17.17² + 1.167² = 964.8

Sisihan piawai

s = √(964.8/5) = 13.89

Jawapan

s = 13.89
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6915

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915
3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.09

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.05 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.15 = 1.9

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.05 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.15 = 5.7

Varians

Var(X) = 5.7 − 1.9² = 2.09

Jawapan

Var(X) = 2.09
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.00129

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.38 = 6.561 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 8·0.7·0.37 = 0.001225

Tambahkannya

P = 6.561 × 10⁻⁵ + 0.001225 = 0.00129

Jawapan

P = 0.00129
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7357

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−1) = 0.8944 − 0.1587 = 0.7357

Jawapan

P = 0.7357
6.Taburan normal

Jawapan: x = 473 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

Kembali kepada x

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

Jawapan

x = 473.02 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 1.054 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 123 − 120 = 3

Ralat piawai

SE = √(8²/80 + 6²/60) = 1.183

Margin ralat

E = 1.645·1.183 = 1.946

Selang

3 ± 1.946 → [1.054, 4.946]

Jawapan

had bawah = 1.054 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 30684

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·34/0.5)² = 30684

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 30684

Jawapan

n = 30684
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik ujian

t = (99.1 − 100)/1 = −0.9

Jawapan

t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 123.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·15/√100 = 2.94

Had selang

U = 120.3 + 2.94 = 123.2

Jawapan

U = 123.2
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9499

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80.8

Pekali korelasi

r = 54/√(40·80.8) = 0.9499

Jawapan

r = 0.9499
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 74.87

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 531/6 = 88.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477

Garis regresi

b = 477/70 = 6.814
a = 88.5 − 6.814·7 = 40.8
ŷ = 40.8 + 6.814·x

Ramalan

ŷ = 40.8 + 6.814·5 = 74.87

Jawapan

ŷ = 74.87

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1