Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 36, 33, 40, 53, 57.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 60.

μ = 70σ = 20x = 60

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.3, 0.3, 0.3

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 0.5X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 242.75 dan 251 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 251

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 9.9. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% daripada data yang sama?

99%n₁ = 50E₁ = 9.990%

E₂ =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 26E = 290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

13 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 5 dan sisihan piawai beza ialah 10.6. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 5s_d = 10.6

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 503.2. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 503.2σ = 8n = 3695%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 100Σy = 575Σx² = 2090Σy² = 69331Σxy = 12031

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 22?

n = 6ŷ = 22

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.62

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 219/5 = 43.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−7.8)² + (−10.8)² + (−3.8)² + 9.2² + 13.2² = 450.8

Sisihan piawai

s = √(450.8/4) = 10.62

Jawapan

s = 10.62

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (60 − 70)/20 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.9798

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.3 = 1.8

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.3 = 4.2

Varians

Var(X) = 4.2 − 1.8² = 0.96

σ = √0.96 = 0.9798

Jawapan

σ = 0.9798

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.4183

Serakan X

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·0.8367 = 0.4183

Jawapan

σ_Y = 0.4183

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·1 + 5 = 5.5.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.5057

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

Luas antara

P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057

Jawapan

P = 0.5057

6.Taburan normal

Jawapan: x = 245.8 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

Jawapan

x = 245.79 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 6.322

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/50) = 0.6386

Margin baharu

E₂ = 9.9·0.6386 = 6.322

Jawapan

E₂ = 6.322

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 458

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·26/2)² = 457.3

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 458

Jawapan

n = 458

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.701

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 10.6/√13 = 2.94

Statistik ujian

t = 5/2.94 = 1.701

Jawapan

t = 1.701

Dengan df = 12, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.179; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 500.6

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·8/√36 = 2.613

Had selang

L = 503.2 − 2.613 = 500.6

Jawapan

L = 500.6

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9885

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 12031 − 100·575/5 = 531

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 69331 − 575²/5 = 3206

Pekali korelasi

r = 531/√(90·3206) = 0.9885

Jawapan

r = 0.9885

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 11.19

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 86/6 = 14.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Garis regresi

b = 128/70 = 1.829

a = 14.33 − 1.829·7 = 1.533

ŷ = 1.533 + 1.829·x

Selesaikan untuk x

x = (22 − 1.533)/1.829 = 11.19

Jawapan

x = 11.19

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1