Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 54, 58, 16, 21, 16, 48.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 56?
μ = 60σ = 5x = 56
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.2, 0.25, 0.2
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 5. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.25, 0.2, 0.1Y = 10X + 5
σY =
5.Taburan normalSederhana
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 452 dan 582 h? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 582
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 85% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 12 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.9 dan sisihan piawai 3.5. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min beza.
n = 12d̄ = 7.9sd = 3.595%t(11) = 2.201
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.6 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?
p ≈ 0.6E = 0.0199%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
9 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 14.95 dan sisihan piawai beza ialah 11.8. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = 14.95sd = 11.8
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 85.7. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 85.7σ = 12n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 459Σx² = 364Σy² = 37287Σxy = 3600
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 95?
n = 6ŷ = 95
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 19.88
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 213/6 = 35.5
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 18.5² + 22.5² + (−19.5)² + (−14.5)² + (−19.5)² + 12.5² = 1976
Sisihan piawai
s = √(1976/5) = 19.88
Jawapan
s = 19.88
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.2119
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
Jawapan
P = 0.2119
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 5.24
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 2·0.2 + 4·0.25 + 6·0.2 = 2.6
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 4·0.2 + 16·0.25 + 36·0.2 = 12
Varians
Var(X) = 12 − 2.6² = 5.24
Jawapan
Var(X) = 5.24
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 13.93
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.6, Var(X) = 1.94, σX = 1.393
Perubahan linear
σY = |10|·1.393 = 13.93
Jawapan
σY = 13.93
Min memang berubah: E(Y) = 10·2.6 + 5 = 31.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8647
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2
z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05
Luas antara
P = Φ(2.05) − Φ(−1.2) = 0.9798 − 0.1151 = 0.8647
Jawapan
P = 0.8647
6.Taburan normal
Jawapan: x = 170.7 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.15
z daripada jadual
z ≈ −1.04
Kembali kepada unit asal
x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm
Jawapan
x = 170.7 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 5.676 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 11, t = 2.201
Margin ralat
E = 2.201·3.5/√12 = 2.224
Selang
7.9 ± 2.224 → [5.676, 10.12]
Jawapan
had bawah = 5.676 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 15926
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2.576²·0.6·0.4/0.01² = 15926
Bundarkan ke atas
n = 15926
Jawapan
n = 15926
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 3.801
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 11.8/√9 = 3.933
Statistik ujian
t = 14.95/3.933 = 3.801
Jawapan
t = 3.801
Dengan df = 8, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.306; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 92.98 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 80 + 2.326·1.5 = 83.49
z di bawah min sebenar
z = (83.49 − 85.7)/1.5 = −1.474
Kuasa
kuasa = P(Z > −1.474) = 92.98%
1 − β = 92.98%
Jawapan
1 − β = 92.98%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9922
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 3600 − 42·459/6 = 387
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 37287 − 459²/6 = 2174
Pekali korelasi
r = 387/√(70·2174) = 0.9922
Jawapan
r = 0.9922
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 20.42
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 660/6 = 110
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 768
Garis regresi
b = 768/157.5 = 4.876
a = 110 − 4.876·23.5 = −4.59
ŷ = −4.59 + 4.876·x
Selesaikan untuk x
x = (95 − (−4.59))/4.876 = 20.42
Jawapan
x = 20.42
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1