Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 39, 32, 32, 60.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 410?

μ = 500σ = 75x = 410

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 6 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 6

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 9p = 0.4k = 5

P =

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 82 dan 115.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 115.75

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 60% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah60%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 12 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −6.9 dan sisihan piawai 2.8. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 12d̄ = −6.9s_d = 2.890%t(11) = 1.796

had bawah = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 40. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 40E = 2.595%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 123.68. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ > 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 20n = 25x̄ = 123.68H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ > 200 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 12.5. Pada hakikatnya min ialah 204.5. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 200μ = 204.5σ = 12.5n = 25α = 0.01

β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 418Σx² = 220Σy² = 36582Σxy = 2760

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 28.5.

n = 6x = 28.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.99

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 196/5 = 39.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−6.2)² + (−0.2)² + (−7.2)² + (−7.2)² + 20.8² = 574.8

Sisihan piawai

s = √(574.8/4) = 11.99

Jawapan

s = 11.99

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8849

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.6651

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

Jawapan

P = 0.6651

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1672

Formula binomial

P(X = 5) = 126·0.4⁵·0.6⁴ = 126·0.01024·0.1296 = 0.1672

Jawapan

P = 0.1672

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7381

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (82 − 100)/15 = −1.2

z₂ = (115.75 − 100)/15 = 1.05

Luas antara

P = Φ(1.05) − Φ(−1.2) = 0.8531 − 0.1151 = 0.7381

Jawapan

P = 0.7381

6.Taburan normal

Jawapan: x = 103.8 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.6

z daripada jadual

z ≈ 0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 markah

Jawapan

x = 103.8 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −8.352 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 11, t = 1.796

Margin ralat

E = 1.796·2.8/√12 = 1.452

Selang

−6.9 ± 1.452 → [−8.352, −5.448]

Jawapan

had bawah = −8.352 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 984

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·40/2.5)² = 983.4

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 984

Jawapan

n = 984

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.1788

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 20/√25 = 4

z = (123.68 − 120)/4 = 0.92

Luas ekor

Φ(0.92) = 0.8212

1 − Φ(0.92) = 0.1788

Nilai-p

p = 0.1788

Jawapan

p = 0.1788

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 70.06 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12.5/√25 = 2.5

x̄_c = 200 + 2.326·2.5 = 205.8

z di bawah min sebenar

z = (205.8 − 204.5)/2.5 = 0.526

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z > 0.526) = 29.94%

β = 100% − 29.94% = 70.06%

Jawapan

β = 70.06%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9847

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2760 − 30·418/5 = 252

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 36582 − 418²/5 = 1637

Pekali korelasi

r = 252/√(40·1637) = 0.9847

Jawapan

r = 0.9847

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 105.6

Min

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 495/6 = 82.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 607.5

Garis regresi

b = 607.5/157.5 = 3.857

a = 82.5 − 3.857·22.5 = −4.286

ŷ = −4.286 + 3.857·x

Ramalan

ŷ = −4.286 + 3.857·28.5 = 105.6

Jawapan

ŷ = 105.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1