Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 37, 23, 29, 37, 56.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 84.

μ = 100σ = 20x = 84

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 13? Susunan tidak penting.

n = 13k = 2

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.3 dan €40 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€10: p = 0.3€40: p = 0.05

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 454 dan 534 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 534

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 12 item mempunyai min 17.5 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 12x̄ = 17.5s = 1090%t(11) = 1.796

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 15. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 15E = 499%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 193.4 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193.4s = 12n = 16

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 74.2. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 74.2σ = 4n = 3699%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (17, 66) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(17, 66)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.9

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 198/6 = 33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 4² + (−10)² + (−4)² + 4² + 23² = 966

Sisihan piawai

s = √(966/5) = 13.9

Jawapan

s = 13.9

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Piawaikan

z = (84 − 100)/20 = −0.8

Jawapan

z = −0.8

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 78

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Jawapan

N = 78

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 3 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 8 (p = 0.3), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.65)

Nilai jangkaan

E(G) = 8·0.3 + 38·0.05 − 2·0.65 = 3 €

Jawapan

E(G) = 3 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6773

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15

z₂ = (534 − 500)/40 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−1.15) = 0.8023 − 0.1251 = 0.6773

Jawapan

P = 0.6773

6.Taburan normal

Jawapan: x = 80.78 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 markah

Jawapan

x = 80.78 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 22.68

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 11, t = 1.796

Margin ralat

E = 1.796·10/√12 = 5.185

Selang

17.5 ± 5.185 → [12.32, 22.68]

Jawapan

had atas = 22.68

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 94

Selesaikan untuk n

n = (2.576·15/4)² = 93.32

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 94

Jawapan

n = 94

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Statistik ujian

t = (193.4 − 200)/3 = −2.2

Jawapan

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 72.48

Margin ralat

E = 2.576·4/√36 = 1.717

Had selang

L = 74.2 − 1.717 = 72.48

Jawapan

L = 72.48

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.8644

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 61.2

Pekali penentuan

r² = 46²/(40·61.2) = 0.8644

Jawapan

r² = 0.8644

Kira-kira 86.44% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.929

Min

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 423/6 = 70.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295

Garis regresi

b = 295/70 = 4.214

a = 70.5 − 4.214·19 = −9.571

ŷ = −9.571 + 4.214·x

Nilai ramalan

ŷ = −9.571 + 4.214·17 = 62.07

Reja

e = 66 − 62.07 = 3.929

Jawapan

e = 3.929

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1