Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 13, 37, 21, 14.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 80?
μ = 60σ = 10x = 80
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8577. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.8577
z =
6.Taburan normalSukar
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 95% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 100 markahσ = 15 markah95%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 54.5 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Model 2: 100 telefon, min 44 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 54.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 100x̄₂ = 44 hσ₂ = 12 h95%
E = h
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 8 petak, min hasil 30 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Kumpulan petak 2: 9 petak, min 27.5 kg, sisihan piawai 6.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 30s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 27.5s₂ = 6.590%t(15) = 1.753
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 8 pelajar, skor min 27.5, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 9 pelajar, skor min 24.7, sisihan piawai 11. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 8x̄₁ = 27.5s₁ = 2n₂ = 9x̄₂ = 24.7s₂ = 11
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ > 200 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 206.4. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 200μ = 206.4σ = 20n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 30Σy = 54Σx² = 220Σy² = 674Σxy = 382
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.
n = 5x = 3.5
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 9.94
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 112/5 = 22.4
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 4.6² + (−9.4)² + 14.6² + (−1.4)² + (−8.4)² = 395.2
Sisihan piawai
s = √(395.2/4) = 9.94
Jawapan
s = 9.94
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.02275
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 2
Jadual normal piawai
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 5.4
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.15 + 6·0.3 = 3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.15 + 36·0.3 = 14.4
Varians
Var(X) = 14.4 − 3² = 5.4
Jawapan
Var(X) = 5.4
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 0.9734
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 3.9, Var(X) = 3.79, σX = 1.947
Perubahan linear
σY = |0.5|·1.947 = 0.9734
Jawapan
σY = 0.9734
Min memang berubah: E(Y) = 0.5·3.9 + 10 = 11.95.
5.Taburan normal
Jawapan: z = −1.07
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.8577 = 0.1423
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.1423 di dalam jadual dan baca z.
z = −1.07
Jawapan
z = −1.07
6.Taburan normal
Jawapan: x = 75.4 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.05
z daripada jadual
z ≈ −1.64
Kembali kepada unit asal
x = 100 − 1.64·15 = 75.4 markah
Jawapan
x = 75.4 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 3.103 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 54.5 − 44 = 10.5
Ralat piawai
SE = √(8²/60 + 12²/100) = 1.583
Margin ralat
E = 1.96·1.583 = 3.103
Jawapan
E = 3.103 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −2.027 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (7·3.5² + 8·6.5²)/15 = 28.25
sp = 5.315
Margin ralat
E = 1.753·5.315·√(1/8 + 1/9) = 4.527
Selang
2.5 ± 4.527 → [−2.027, 7.027]
Jawapan
had bawah = −2.027 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.7072
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (7·2² + 8·11²)/15 = 66.4
sp = 8.149
Ralat piawai
SE = 8.149·√(1/8 + 1/9) = 3.96
Statistik ujian
t = (27.5 − 24.7)/3.96 = 0.7072
Jawapan
t = 0.7072
Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 94 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 200 + 1.645·2 = 203.3
z di bawah min sebenar
z = (203.3 − 206.4)/2 = −1.555
Kuasa
kuasa = P(Z > −1.555) = 94%
1 − β = 94%
Jawapan
1 − β = 94%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9624
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 382 − 30·54/5 = 58
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 674 − 54²/5 = 90.8
Pekali korelasi
r = 58/√(40·90.8) = 0.9624
Jawapan
r = 0.9624
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 53.25
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 276/5 = 55.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Garis regresi
b = 39/10 = 3.9
a = 55.2 − 3.9·4 = 39.6
ŷ = 39.6 + 3.9·x
Ramalan
ŷ = 39.6 + 3.9·3.5 = 53.25
Jawapan
ŷ = 53.25
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1