Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 41, 38, 56, 32, 47, 27.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 90?

μ = 50σ = 20x = 90

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 8 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 8

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.15, 0.1Y = 0.5X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya di bawah 642.4 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16< 642.4 g

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 15% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 30 telefon, min 110 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Model 2: 40 telefon, min 108.5 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 110 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 108.5 hσ₂ = 5 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 5. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 5E = 0.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 9 pelajar, skor min 91, sisihan piawai 3.5. Kumpulan 2: 12 pelajar, skor min 84.9, sisihan piawai 7. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 9x̄₁ = 91s₁ = 3.5n₂ = 12x̄₂ = 84.9s₂ = 7

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 9. Pada hakikatnya min ialah 74.15. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 74.15σ = 9n = 36α = 0.01

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 48Σy = 305Σx² = 454Σy² = 16517Σxy = 2705

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 87?

n = 5ŷ = 87

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.19

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 257/7 = 36.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−20.71)² + 4.286² + 1.286² + 19.29² + (−4.714)² + 10.29² + (−9.714)² = 1043

Sisihan piawai

s = √(1043/6) = 13.19

Jawapan

s = 13.19

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = 2

Jadual normal piawai

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7674

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

Jawapan

P = 0.7674

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.618

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.65, Var(X) = 1.528, σ_X = 1.236

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·1.236 = 0.618

Jawapan

σ_Y = 0.618

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·1.65 + 20 = 20.82.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6915

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 640 g, σ_T = 1.2·√16 = 4.8 g

Piawaikan

z = (642.4 − 640)/4.8 = 0.5

Kebarangkalian

P = Φ(0.5) = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915

6.Taburan normal

Jawapan: x = 255.2 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.85

z daripada jadual

z ≈ 1.04

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 1.04·5 = 255.2 g

Jawapan

x = 255.2 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 4.903 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 110 − 108.5 = 1.5

Ralat piawai

SE = √(13²/30 + 5²/40) = 2.502

Margin ralat

E = 1.96·2.502 = 4.903

Jawapan

E = 4.903 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 664

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·5/0.5)² = 663.6

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 664

Jawapan

n = 664

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.389

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (8·3.5² + 11·7²)/19 = 33.53

s_p = 5.79

Ralat piawai

SE = 5.79·√(1/9 + 1/12) = 2.553

Statistik ujian

t = (91 − 84.9)/2.553 = 2.389

Jawapan

t = 2.389

Dengan df = 19, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.093; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 94.23 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 80 − 2.326·1.5 = 76.51

z di bawah min sebenar

z = (76.51 − 74.15)/1.5 = 1.574

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.574) = 94.23%

1 − β = 94.23%

Jawapan

1 − β = 94.23%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9952

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2705 − 48·305/6 = 265

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 16517 − 305²/6 = 1013

Pekali korelasi

r = 265/√(70·1013) = 0.9952

Jawapan

r = 0.9952

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 26.6

Min

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 346/5 = 69.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348

Garis regresi

b = 348/90 = 3.867

a = 69.2 − 3.867·22 = −15.87

ŷ = −15.87 + 3.867·x

Selesaikan untuk x

x = (87 − (−15.87))/3.867 = 26.6

Jawapan

x = 26.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1